Para cada uma das seguintes funções encontre um intervalo que contenha um único zero , e justifique:
Passo 1
O enunciado pede um intervalo em que a função
tenha exatamente uma raiz. Aqui usamos o Teorema do Valor Intermediário (para garantir existência de zero quando mudam de sinal) e argumento de monotonia (para garantir unicidade).
Passo 2
Vamos avaliar
em dois pontos convenientemente escolhidos, por exemplo
e
:
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 3
Para mostrar que essa raiz é única, analisamos a derivada
Note que, no intervalo
, temos
logo
em todo
. Assim,
para todo
. Portanto
é estritamente crescente em
.
Passo 4
Juntando os dois resultados:
- Existe pelo menos um zero em
por mudança de sinal de . -
é estritamente crescente em , o que impede mais de uma raiz.
Resposta
Um intervalo que contém exatamente um zero de
é