Problema 3.12. Enuncie critérios de divisibilidade por 3, 4, 5, 8, 9 e 10 .

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente os critérios de divisibilidade por 3, 4, 5, 8, 9 e 10. O conteúdo principal aqui é aritmética modular e representação decimal de um número inteiro. Para cada caso, vamos usar propriedades dos restos na divisão por potências de 2, 5 e 3, observando como a escrita decimal de um número facilita a verificação.

Passo 2

Critérios por soma de dígitos (módulos 3 e 9):
Qualquer número inteiro em base decimal pode ser escrito como
n = ak10^k + ak-110^k-1 + cdots + a1 10 + a0,
onde ai são os dígitos. Como 10equiv1pmod3 e 10equiv1pmod9, cada termo ai10^i deixa resto ai na divisão por 3 ou 9. Logo, o resto de n é igual ao resto da soma dos dígitos:

Passo 3

Critérios por último dígito (módulos 5 e 10):
Na base decimal, o último dígito a0 corresponde ao resto de n na divisão por 10. Como 5mid10, um número é divisível por 5 se, e somente se, seu último dígito for 0 ou 5. E é divisível por 10 se, e somente se, seu último dígito for 0.

Passo 4

Critérios por últimos dois ou três dígitos (módulos 4 e 8):
Ainda pela escrita decimal, os dois últimos dígitos formam o número 100a2 + 10a1 + a0. Como
100equiv0pmod4, 10equiv2pmod4,
mas 10a1equiv2a1 e a0equiv a0, basta verificar a divisibilidade pelo número formado pelos dois últimos dígitos. De modo análogo, como
1000equiv0pmod8, 10equiv2pmod8, 100equiv4pmod8,
só é preciso olhar os três últimos dígitos do número para testar divisibilidade por 8.

Resposta

(a) Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se, e somente se, a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 3.
(b) Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 9.
(c) Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se, e somente se, o seu último dígito for 0 ou 5.
(d) Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 se, e somente se, o seu último dígito for 0.
(e) Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos for divisível por 4.
(f) Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 se, e somente se, o número formado pelos seus três últimos dígitos for divisível por 8.

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