Problema 3.12. Enuncie critérios de divisibilidade por 3, 4, 5, 8, 9 e 10 .
Passo 1
O enunciado pede que a gente apresente os critérios de divisibilidade por 3, 4, 5, 8, 9 e 10. O conteúdo principal aqui é aritmética modular e representação decimal de um número inteiro. Para cada caso, vamos usar propriedades dos restos na divisão por potências de 2, 5 e 3, observando como a escrita decimal de um número facilita a verificação.
Passo 2
Critérios por soma de dígitos (módulos 3 e 9):
Qualquer número inteiro em base decimal pode ser escrito como
Qualquer número inteiro em base decimal pode ser escrito como
onde
são os dígitos. Como
e
, cada termo
deixa resto
na divisão por 3 ou 9. Logo, o resto de
é igual ao resto da soma dos dígitos:
Passo 3
Critérios por último dígito (módulos 5 e 10):
Na base decimal, o último dígito corresponde ao resto de
na divisão por 10. Como
, um número é divisível por 5 se, e somente se, seu último dígito for 0 ou 5. E é divisível por 10 se, e somente se, seu último dígito for 0.
Na base decimal, o último dígito
Passo 4
Critérios por últimos dois ou três dígitos (módulos 4 e 8):
Ainda pela escrita decimal, os dois últimos dígitos formam o número . Como
Ainda pela escrita decimal, os dois últimos dígitos formam o número
mas
e
, basta verificar a divisibilidade pelo número formado pelos dois últimos dígitos. De modo análogo, como
só é preciso olhar os três últimos dígitos do número para testar divisibilidade por 8.
Resposta
(a) Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se, e somente se, a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 3.
(b) Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 9.
(c) Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se, e somente se, o seu último dígito for 0 ou 5.
(d) Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 se, e somente se, o seu último dígito for 0.
(e) Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos for divisível por 4.
(f) Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 se, e somente se, o número formado pelos seus três últimos dígitos for divisível por 8.
(b) Divisibilidade por 9: um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma de todos os seus dígitos for múltiplo de 9.
(c) Divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se, e somente se, o seu último dígito for 0 ou 5.
(d) Divisibilidade por 10: um número é divisível por 10 se, e somente se, o seu último dígito for 0.
(e) Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos for divisível por 4.
(f) Divisibilidade por 8: um número é divisível por 8 se, e somente se, o número formado pelos seus três últimos dígitos for divisível por 8.