Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas.
integral-4^4 raiz16-x^2 d x

Passo 1

A gente tem que calcular integral-4^4raiz16-x^2,dx. O conteúdo é integral de uma raiz quadrada do tipo raiza^2-x^2, e vamos usar a substituição trigonométrica x=4sintheta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=4sintheta, temos dx=4costheta,dtheta e raiz16-x^2=raiz16-16sin^2theta=4costheta. Quando x=-4, sintheta=-1 theta=-tfracpi2; quando x=4, sintheta=1 theta=tfracpi2.
Substituindo na integral, ela vira
integral-4^4raiz16-x^2,dx=integral-pi/2^pi/2(4costheta)(4costheta,dtheta)=16integral-pi/2^pi/2cos^2theta,dtheta

Passo 3

Para integrar cos^2theta, uso a identidade cos^2theta=tfrac1+cos2theta2. Assim,
16integral-pi/2^pi/2cos^2theta,dtheta=16integral-pi/2^pi/21+cos2theta2,dtheta=8integral-pi/2^pi/2(1+cos2theta),dtheta

Passo 4

Integrando e avaliando de -tfracpi2 a tfracpi2,
8l[theta+tfracsin2theta2r]-pi/2^pi/2=8l(l(tfracpi2+0r)-l(-tfracpi2+0r)r)=8pi

Resposta

8\pi

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