Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(-1,1,0, k) ; B=(1,1,1,0),(0,0,-k, 1),(2,0,1,-2).

Passo 1

O enunciado fornece o vetor v=(-1,1,0,k) e a família
B=(1,1,1,0),(0,0,-k,1),(2,0,1,-2) em R^4.
Precisamos determinar para quais valores de k existem escalares c1,c2,c3 tais que
c1(1,1,1,0)+c2(0,0,-k,1)+c3(2,0,1,-2)=(-1,1,0,k)

Passo 2

Igualando componente a componente, obtemos as equações
c1 + 2c3 = -1
c1 = 1
c1 - k,c2 + c3 = 0
c2 - 2c3 = k

Passo 3

Da segunda equação ;c1=1. Substituindo em c1 + 2c3 = -1
1 + 2c3 = -1 Longrightarrow c3 = -1

Passo 4

Com c3 = -1, a quarta equação c2 - 2c3 = k vira
c2 - 2(-1) = k Longrightarrow c2 = k - 2

Passo 5

Substituindo c1=1, c2=k-2 e c3=-1 na terceira equação c1 - k,c2 + c3 = 0, obtemos
1 - k(k-2) + (-1) = 0 Longrightarrow -k(k-2)=0 Longrightarrow k(k-2)=0,
logo k=0 ou k=2.

Passo 6

Concluímos que v é combinação linear de B exatamente quando
k in 0,2

Resposta

kin0,2

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