Questão 4
Valor: 0,40
Dadas as matrizes A=[ccc4 & -1 & 0 0 & 1 & 1 3 & 0 & 5], B=117[cccx & x & -1 y & 20 & -4 -y & -y & 4] e C=[c-9 9 -5]
A matriz A não possui inversa.
O sistema A X=C, tem solução única X=117[c5 173 -20].
Existem infinitos x e y tais que B=A^-1.

Passo 1

O exercício apresenta as matrizes A, B e C e faz três afirmações: que A não tem inversa, que o sistema AX=C tem solução única X=tfrac117[5;173;-20]^T (já dada) e que existem infinitos x e y tais que B=A^-1. O conteúdo é determinante, inversa de matriz e sistemas lineares; vamos precisar calcular o determinante de A, a matriz adjunta, montar A^-1 e igualar com B para achar x e y.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o determinante de A. Para uma matriz 3×3 vale

Passo 3

det(A)=a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31)

Passo 4

Substituindo os elementos de

Passo 5

A=4 & -1 & 00 & 1 & 13 & 0 & 5

Passo 6

a gente obtém

Passo 7

det(A)=4,(1cdot5-1cdot0)-(-1),(0cdot5-1cdot3)+0=4cdot5-(-1)cdot(-3)=20-3=17

Passo 8

Como det(A)=17neq0, A é invertível e, portanto, a afirmação de que " A não possui inversa" é falsa.

Passo 9

Agora vamos achar A^-1 pela fórmula

Passo 10

A^-1=1det(A)adj(A)

Passo 11

e calcular a matriz adjunta por cofatores, chegando em

Passo 12

adj(A)=5 & 5 & -13 & 20 & -4-3 & -3 & 4

Passo 13

Logo

Passo 14

A^-1=1175 & 5 & -13 & 20 & -4-3 & -3 & 4

Passo 15

Para ter B=A^-1, com

Passo 16

Passo 17

basta igualar cada posição. Da primeira linha vem x=5, da segunda linha vem y=3, e a terceira confirma y=3.

Passo 18

Portanto não há infinitos pares, existe um único par (x,y)=(5,3).

Resposta

x = 5 e y = 3

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