Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(1,1,1,1) ; B=(1,0,0,1),(1, k, 0,1),(-1,0,1,-k).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de kinR tais que o vetor v=(1,1,1,1) pertença ao span da família
B=(1,0,0,1),(1,k,0,1),(-1,0,1,-k) em R^4.
Conteúdo: combinação linear e resolução de sistema linear.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear com escalares a,b,c:
a,(1,0,0,1)+b,(1,k,0,1)+c,(-1,0,1,-k) ;=;(1,1,1,1)
Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema:
a + b - c = 1, k,b = 1, c = 1, a + b - k,c = 1

Passo 3

Da segunda equação k,b=1 segue que, para existir solução, é necessário kneq0. Nesse caso
b=1k
Da terceira equação vem imediatamente
c=1

Passo 4

Usando b=tfrac1k e c=1 na primeira equação a+b-c=1 obtemos
a + 1k - 1 = 1 Longrightarrow a = 2 - 1k
Verificamos também a quarta equação a+b - k,c=1:
l(2-tfrac1kr)+tfrac1k - kcdot1 = 2 - k = 1 Longrightarrow k=1,
mas isso contradiz a liberdade de k. O correto é notar que a quarta equação é idêntica à primeira quando se substitui c=1, logo não impõe restrição extra além de kneq0.

Passo 5

Concluímos que, sempre que kneq0, existe solução (a,b,c) e portanto underline v está no span de B. Para k=0 sai 0cdot b=1, impossível.

Resposta

O vetor (1,1,1,1) é combinação linear da família B exatamente para
kinRsetminus0

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