Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(-5,-k, 7) ; B=(1,1, k),(-1,0,2).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de kinR tais que exista alpha,betainR com
alpha,(1,1,k);+;beta,(-1,0,2);=;(-5,-k,7)
Ou seja, queremos que underline v pertença ao espaço gerado pela família B.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha - beta = -5, alpha = -k, alpha,k + 2beta = 7

Passo 3

Da segunda equação vem
alpha = -k
Substituindo na primeira:
(-k) - beta = -5 Longrightarrow beta = -k + 5

Passo 4

Agora impomos a terceira equação:
alpha,k + 2beta = 7 ;Longrightarrow; (-k),k + 2(-k+5) = 7 ;Longrightarrow; -k^2 - 2k +10 =7 ;Longrightarrow; -k^2 -2k +3 = 0 ;Longrightarrow; k^2 + 2k - 3 = 0
Resolvendo a quadrática,
k = -2 pm raiz4 +122 = -2 pm 42 ;Longrightarrow; k = 1 ou k = -3

Resposta

Os únicos valores de k que tornam underline v combinação linear dos vetores de B são
k = 1 ou k = -3

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