Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(1,0,0, k) ; B=(1,1,-2, k),(-1,0,1,1),(1,1, k, 2).

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de kinR tais que
underline v = (1,0,0,k)
é combinação linear dos vetores
v1=(1,1,-2,k), v2=(-1,0,1,1), v3=(1,1,k,2)
O conteúdo é montar um sistema linear para os coeficientes a,b,c em
underline v = a,v1 + b,v2 + c,v3
e achar para quais k ele é compatível.

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando coordenadas, obtemos o sistema
a - b + c = 1, a + c = 0, -2a + b + k,c = 0, k,a + b + 2c = k

Passo 3

Da segunda equação a + c = 0 vem
c = -a
Substituindo em a - b + c = 1
a - b - a = 1Longrightarrow b = -1

Passo 4

Agora a terceira equação -2a + b + k,c = 0 com b=-1 e c=-a fica
-2a -1 + k(-a)=0 Longrightarrow (-2 - k)a = 1
Para kneq -2 isso dá
a = -1k+2, c = -a = 1k+2
Se k=-2, a equação vira -1=0, impossível.

Passo 5

Falta satisfazer a quarta equação k,a + b + 2c = k. Substituindo
kl(-tfrac1k+2r) + (-1) + 2l(tfrac1k+2r) = k
Longrightarrow -k + 2k+2 -1 = k Longrightarrow -2kk+2 = k

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por k+2 (lembrando que já excluímos k=-2), vem
-2k = k(k+2) Longrightarrow k^2 +4k=0 Longrightarrow k,(k+4)=0
ou seja
k=0ou k=-4

Resposta

k=0 ou k=-4.

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