Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(0,-k, 3,-2) ; B=(1,0,1,0),(0,0, k, 0),(0,1,0,1).

Passo 1

O enunciado dá o vetor
v=(0,-k,3,-2)
e a família
B=(1,0,1,0),,(0,0,k,0),,(0,1,0,1)
no espaço R^4.
Queremos achar para quais kinR existe uma combinação linear
alpha(1,0,1,0)+beta(0,0,k,0)+gamma(0,1,0,1)=v.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpha = 0, gamma = -k, alpha + beta,k = 3, gamma = -2

Passo 3

Da primeira equação vem
alpha=0.
Da segunda e da quarta temos
gamma=-k e gamma=-2,
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-k = -2 Longrightarrow k = 2

Passo 4

Para k=2, o vetor (0,0,k,0) não é nulo e a terceira equação fica
betacdot 2 = 3 Longrightarrow beta = 32
Assim existem alpha=0, beta=3/2, gamma=-2 que geram v.

Resposta

A família B gera v somente quando
boxedk=2

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