Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(2,2, k, 0) ; B=(1,0,1,1),(-1, k, 0,-1),(2,1,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar para quais valores de kinR existe uma combinação linear
a,(1,0,1,1)+b,(-1,k,0,-1)+c,(2,1,0,0)=(2,2,k,0)
O conteúdo é resolução de sistema linear para verificar quando o vetor underline v pertence ao span da família B.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema em (a,b,c):
a - b + 2c = 2, k,b + c = 2, a = k, a - b = 0

Passo 3

Da quarta equação segue
a - b = 0Longrightarrow b = a
Da terceira equação segue
a = k
Logo
a = b = k

Passo 4

Substituindo a=b=k na primeira equação,
k - k + 2c = 2 Longrightarrow 2c = 2 Longrightarrow c = 1

Passo 5

Finalmente, na segunda equação,
k,b + c = 2 Longrightarrow kcdot k + 1 = 2 Longrightarrow k^2 = 1 Longrightarrow k = pm1

Resposta

O vetor underline v é combinação linear dos vetores de B exatamente quando
k = 1ou k = -1

Exercícios relacionados