Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(0, k,-1,1) ; B=(1,-2,2,0),(1,0,1,1),(-k, 0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá v=(0,k,-1,1) em R^4 e a família
B=(1,-2,2,0),(1,0,1,1),(-k,0,0,0).
Queremos achar para quais kinR existe uma combinação linear
a(1,-2,2,0)+b(1,0,1,1)+c(-k,0,0,0)=(0,k,-1,1)
Esse é um problema de suprir underline v pelo span de B, levando à solução de um sistema linear em a,b,c.

Passo 2

Igualando coordenada a coordenada obtemos o sistema
a + b - k,c = 0
-2a = k
2a + b = -1
b = 1

Passo 3

Da quarta equação segue
b = 1
Da segunda equação segue
-2a = k Longrightarrow a = -tfrack2

Passo 4

Substituindo a=-tfrack2 e b=1 na terceira equação 2a+b=-1
2l(-tfrack2r) + 1 = -1 Longrightarrow -k+1 = -1 Longrightarrow k = 2

Passo 5

Para k=2, temos a=-1 e b=1. Na primeira equação
a + b - k,c = 0 Longrightarrow (-1)+1 - 2,c = 0 Longrightarrow c = 0
Portanto existe solução (e underline vinspan, B) exatamente quando k=2.

Resposta

k = 2

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