Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(k, 1,0,0) ; B=(k, k, 0,2),(-1,2,1,1),(-1,2,1,2).

Passo 1

Resumindo: queremos determinar para quais valores de kinR existe uma combinação linear
a,(k,k,0,2)+b,(-1,2,1,1)+c,(-1,2,1,2) ;=;(k,1,0,0)
O conteúdo é resolver um sistema linear em a,b,c parámetro em k.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
ak - b - c = k, ak +2b +2c = 1, b + c = 0, 2a + b +2c = 0

Passo 3

Da terceira equação b+c=0, segue
b = -c
Substituindo em
ak - b - c = k Longrightarrow ak - (-c) - c = k ;Longrightarrow; ak = k
e em
ak + 2b + 2c = 1 Longrightarrow ak + 2(-c) + 2c = 1 ;Longrightarrow; ak = 1

Passo 4

Dos dois resultados ak=k e ak=1, se k=0 caímos em 0=1, impossível. Se kneq0, dividindo ak=k por k a=1, e de ak=1 a=1/k. Igualando,
1 = 1k ;Longrightarrow; k = 1

Passo 5

Para k=1 temos a=1. Voltando em b=-c e na quarta equação
2a + b +2c = 0 ;Longrightarrow; 2cdot1 +(-c)+2c = 0 ;Longrightarrow; 2 + c = 0 ;Longrightarrow; c = -2,
e então b = 2. Tudo é consistente.

Resposta

O vetor underline v está no subespaço gerado por B exatamente quando
boxedk = 1

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