Para cada um dos seguintes itens, estabeleça para quais valores do parâmetro k in R o vetor v é combinação linear da família B no espaço R^n correspondente:
v=(-k, 1,2,-1) ; B=(0, k,-1,1),(1,-2,2,0),(1,0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar para quais valores de k o vetor
v=(-k,1,2,-1)
é combinação linear da família
B=(0,k,-1,1),,(1,-2,2,0),,(1,0,1,1)
em R^4. Isso significa encontrar escalares a,b,c tais que
a,(0,k,-1,1)+b,(1,-2,2,0)+c,(1,0,1,1)=(-k,1,2,-1)
Vamos montar e resolver o sistema linear resultante em função de k.

Passo 2

Sejam a,b,c os coeficientes da combinação linear. Igualando componente a componente, obtemos o sistema
b + c = -k, a,k - 2b = 1, -,a + 2b + c = 2, a + c = -1

Passo 3

Das duas últimas equações, isolamos c e depois b:
a + c = -1Longrightarrow c=-1 - a,
b + c = -kLongrightarrow b = -k - c = -k -(-1 -a)=a +1 - k

Passo 4

Substituindo b=a+1-k na segunda equação a,k -2b=1, vem
a,k - 2(a+1-k)=1 Longrightarrow a(k-2)=3-2k
Se kneq 2,
a=3-2k,k-2,
Em seguida
b=-k^2+k+1,k-2,, c=-1-a=k-1,k-2,

Passo 5

Ainda resta impor a terceira equação -a+2b+c=2. Substituindo a,b,c em função de k
-2k^2+5k-2,k-2,=2 Longrightarrow -2k^2+5k-2=2k-4 Longrightarrow 2k^2-3k-2=0
As raízes são
k=3pm54Longrightarrow k=2ou k=-tfrac12

Passo 6

O caso k=2 precisa cheque à parte porque em k=2 surgiram denominações zero. Voltando ao sistema original com k=2,
b+c=-2, 2a-2b=1, -,a+2b+c=2, a+c=-1,
é fácil ver que as primeiras e a última dão
b+c=-2, c=-1-a;Longrightarrow;b=a-tfrac12,
e então b+c=(a-tfrac12)+(-1-a)=-tfrac32neq -2. Logo k=2 não dá solução.

Resposta

O vetor v é combinação linear de B somente para
boxedk=-tfrac12

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