Demonstre os seguintes enunciados:
todo elemento de é combinação linear da família
Passo 1
A questão pede para mostrar que a família de vetores , e gera o espaço . Ou seja, precisamos provar que dado um vetor arbitrário , podemos encontrar escalares tais que
Passo 2
Para encontrar , escrevemos a combinação linear e obtemos o sistema. Temos
Isso dá o sistema de equações:
Passo 3
Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
b = x - a
Substituindo na segunda:
a - (x - a) + c = y ,Rightarrow,2a - x + c = y ,Rightarrow,c = y + x - 2a
Agora usamos a terceira equação:
a + (x - a) + 2(y + x - 2a) = z
que simplifica para
x + 2y + 2x - 4a = z ,Rightarrow,3x + 2y - z = 4a ,Rightarrow,a = 3x + 2y - z4
Passo 4
Com a encontrado, voltamos em b = x - a e c = y + x - 2a, obtendo
b = x - 2y + z4, c = z - x2
Portanto, para qualquer (x,y,z) em R^3 existe (a,b,c) tal que
(x,y,z)=a,v1+b,v2+c,v3,
o que mostra que a família gera todo R^3.
Resposta
Dados (x,y,z)inR^3, basta escolher
a=3x+2y-z4, b=x-2y+z4, c=z-x2
Então
(x,y,z)=a,(1,1,1)+b,(1,-1,1)+c,(0,1,2),
logo todo elemento de R^3 é combinação linear da família dada.