Demonstre os seguintes enunciados:
todo elemento de R^3 é combinação linear da família
(1,1,1),(1,-1,1),(0,1,2)

Passo 1

A questão pede para mostrar que a família de vetores v1=(1,1,1), v2=(1,-1,1) e v3=(0,1,2) gera o espaço R^3. Ou seja, precisamos provar que dado um vetor arbitrário (x,y,z)inR^3, podemos encontrar escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (x,y,z)

Passo 2

Para encontrar a,b,c, escrevemos a combinação linear e obtemos o sistema. Temos
a,(1,1,1) + b,(1,-1,1) + c,(0,1,2) = (x,y,z)
Isso dá o sistema de equações:
a + b = x, a - b + c = y, a + b + 2c = z

Passo 3

Resolvendo o sistema, da primeira equação vem
b = x - a
Substituindo na segunda:
a - (x - a) + c = y ,Rightarrow,2a - x + c = y ,Rightarrow,c = y + x - 2a
Agora usamos a terceira equação:
a + (x - a) + 2(y + x - 2a) = z
que simplifica para
x + 2y + 2x - 4a = z ,Rightarrow,3x + 2y - z = 4a ,Rightarrow,a = 3x + 2y - z4

Passo 4

Com a encontrado, voltamos em b = x - a e c = y + x - 2a, obtendo
b = x - 2y + z4, c = z - x2
Portanto, para qualquer (x,y,z) em R^3 existe (a,b,c) tal que
(x,y,z)=a,v1+b,v2+c,v3,
o que mostra que a família gera todo R^3.

Resposta

Dados (x,y,z)inR^3, basta escolher
a=3x+2y-z4, b=x-2y+z4, c=z-x2
Então
(x,y,z)=a,(1,1,1)+b,(1,-1,1)+c,(0,1,2),
logo todo elemento de R^3 é combinação linear da família dada.

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