Demonstre os seguintes enunciados:
nem todo elemento de R^3 é combinação linear da família
(1,-1,2),(-1,0,1),(3,-1,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a família
,v1=(1,-1,2),;v2=(-1,0,1),;v3=(3,-1,0)
não gera todo R^3. O conteúdo envolvido é combinação linear, dependência linear e dimensão do subespaço gerado. Vamos provar que esses três vetores são linearmente dependentes, daí o subespaço que eles geram tem dimensão 2 (um plano) e, portanto, é próprio em R^3.

Passo 2

Buscamos escalares
Escrevendo coordenada a coordenada, temos o sistema
Da segunda equação vem obtemos . Verificamos também . Logo
ou seja, é combinação linear de e , o que mostra dependência linear.

Passo 3

Como v3inspanv1,v2, temos
spanv1,v2,v3 =spanv1,v2,
que é um subespaço de dimensão 2 em R^3. Para explicitar a equação desse plano, note que todo vetor da forma
a,(1,-1,2)+b,(-1,0,1)=(,a-b,,-a,;2a+b,)
satisfaz
y=-a, x=a-b, z=2a+b
Daí a=-y e b=a-x=-y-x, logo
z=2(-y)+(-y-x)=-3y-x,
ou seja,
spanv1,v2,v3 =(x,y,z)inR^3mid z=-x-3y

Passo 4

Qualquer vetor que não satisfaça z=-x-3y não pertence a esse plano. Por exemplo, o vetor
(0,0,1)
tem z=1 mas deveria ser -0-3cdot0=0. Logo
(0,0,1)notinspanv1,v2,v3,
mostrando explicitamente que nem todo elemento de R^3 é combinação linear da família dada.

Resposta

O subespaço gerado pelos três vetores é um plano próprio de R^3 de equação z=-x-3y. Por exemplo, (0,0,1) não pertence a esse plano e, portanto, não pode ser escrito como combinação linear de (1,-1,2), (-1,0,1) e (3,-1,0).

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