Em cada um dos seguintes itens, identifique e determine a equação da cônica a partir dos elementos dados:
O foco é o ponto F=(-1,-1), a diretriz associada é a reta l : 2 y+3=0 e a excentricidade e=2raiz5.

Passo 1

O enunciado dá o foco F=(-1,-1), a diretriz l:2y+3=0 (isto é, y=-tfrac32) e a excentricidade e=tfrac2raiz5. Vamos usar a definição de cônica: para um ponto genérico P=(x,y),
PF ;=; e,dist(P,l)

Passo 2

Calculemos as duas distâncias.
A distância do ponto P ao foco é
PF = raiz(x+1)^2+(y+1)^2
A distância de P à reta 2y+3=0 é
dist(P,l)=lvert 2y+3rvertraiz2^2=lvert2y+3rvert2

Passo 3

A definição impõe
raiz(x+1)^2+(y+1)^2 =2raiz5,lvert2y+3rvert2 =lvert2y+3rvertraiz5
Elevando ao quadrado,
(x+1)^2+(y+1)^2 = (2y+3)^25

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 5 e expandindo,
5l[(x+1)^2+(y+1)^2r]=(2y+3)^2 ;Longrightarrow; 5x^2+5y^2+10x+10y+10 = 4y^2+12y+9
Reagrupando tudo num só lado:
5x^2+y^2+10x-2y+1=0

Passo 5

Como e=tfrac2raiz5<1, trata-se de uma elipse cujo foco e diretriz são os dados.

Resposta

A cônica é uma elipse dada pela equação
5x^2+y^2+10x-2y+1=0

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