Em cada um dos seguintes itens, identifique e determine a equação da cônica a partir dos elementos dados:
As extremidades do eixo transverso são os pontos A=(2,0), B=(2,6) e uma das diretrizes é a reta l: 5 y-24=0.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do eixo transverso A=(2,0) e B=(2,6) e uma das diretrizes da cônica
l:;5y-24=0;Longrightarrow;y=tfrac245
O conteúdo é cônicas definidas por vértices (eixo transverso) e diretriz. Vamos determinar o tipo de cônica, seus parâmetros centrais ( a,c,b) e então escrever a equação.

Passo 2

Centro C é o ponto médio de AB:
C=l(2,tfrac0+62r)=(2,3)
Comprimento do semi-eixo transverso a é a metade de AB:
2a=6Longrightarrow a=3
Como o eixo é vertical, a forma canônica será
(y-3)^2a^2;-;(x-2)^2b^2=1
se for hipérbole, ou trocada se for elipse. Ainda não sabemos qual.

Passo 3

Para elipse ou hipérbole, a diretriz genérica (horizontal) é
y = 3 pm ae,
onde e é a excentricidade. Como uma das diretrizes é y=tfrac245, deve valer
3 + ae = 245 Longrightarrow ae = 245-3 = 95 Longrightarrow e = a9/5 = 39/5 = 53
Como e=tfrac53>1, trata-se de uma hipérbole de eixo vertical.

Passo 4

Para hipérbole, c = ae = 3cdot53=5 e
b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16
Logo b=4. Os focos são (2,,3pm5), mas não precisamos deles para a equação.

Passo 5

A forma canônica da hipérbole com centro em (2,3), semi-eixo vertical a=3 e semi-eixo horizontal b=4 é
(y-3)^29 ;-;(x-2)^216 = 1

Resposta

boxed(y-3)^29 ;-;(x-2)^216 = 1

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