Considere a elipse E de equação (x^prime)^25+(y^prime)^220=1 em relação ao sistema x^prime O y^prime, o qual possui o ponto A=(1,2) no eixo ox ^prime. Determine:
As coordenadas de um dos focos e a equação da diretriz associada a este foco e em relação ao sistema x O y.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse E cujos eixos estão alinhados com o sistema (x',y') e cuja equação é
(x')^25+(y')^220=1
Sabemos também que o eixo x' faz a mesma direção do vetor OA onde A=(1,2) no sistema (x,y). Nosso objetivo é (1) achar as coordenadas de um foco em (x,y) e (2) determinar a equação da diretriz associada a esse foco, tudo no sistema (x,y). Para isso precisamos (i) expressar (x',y') em função de (x,y) via rotação e (ii) usar as fórmulas clássicas de elipse para foco e diretriz.

Passo 2

Como a direção de x' é a do vetor (1,2), temos
costheta=1raiz5, sintheta=2raiz5
A transformação de rotação que leva (x,y) em (x',y') é
x' = xcostheta + ysintheta = x+2yraiz5, y' = -,xsintheta + ycostheta = -2x+yraiz5

Passo 3

Na forma canônica da elipse
(x')^2b^2+(y')^2a^2=1,
vemos que a^2=20 e b^2=5, logo a=raiz20 e b=raiz5. O foco fica sobre o eixo maior ( y'), em (0,pm c) onde
c=raiza^2 - b^2=raiz20-5=raiz15

Passo 4

Escolhendo o foco de coordenadas
com . Assim

Passo 5

A diretriz associada a esse foco, para elipse vertical, é
y' = ae, e = ca = raiz15raiz20 = raiz32,
logo
ae = raiz20raiz3/2 = 2,raiz20raiz3 = 4raiz53
Em (x,y) escrevemos
y' = -2x+yraiz5 = 4raiz53 ;Longrightarrow; -2x + y = 4raiz53;raiz5 =20,1raiz3 = 20raiz33
Portanto a diretriz é
y - 2x - 20raiz33 = 0

Resposta

O foco escolhido tem coordenadas
l(-2raiz3,;raiz3r),
e a diretriz associada é
y - 2x - 20raiz33 = 0

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