Considere a elipse de equação em relação ao sistema , o qual possui o ponto no eixo . Determine:
As coordenadas de um dos focos e a equação da diretriz associada a este foco e em relação ao sistema x O y.
Passo 1
O enunciado dá uma elipse E cujos eixos estão alinhados com o sistema (x',y') e cuja equação é
(x')^25+(y')^220=1
Sabemos também que o eixo x' faz a mesma direção do vetor OA onde A=(1,2) no sistema (x,y). Nosso objetivo é (1) achar as coordenadas de um foco em (x,y) e (2) determinar a equação da diretriz associada a esse foco, tudo no sistema (x,y). Para isso precisamos (i) expressar (x',y') em função de (x,y) via rotação e (ii) usar as fórmulas clássicas de elipse para foco e diretriz.
Passo 2
Como a direção de x' é a do vetor (1,2), temos
costheta=1raiz5, sintheta=2raiz5
A transformação de rotação que leva (x,y) em (x',y') é