(a) Encontre uma base tanto do espaço linha quanto do espaço coluna da matriz
A=(ccccc -3 & 2 & 7 & 1 & -5 1 & 0 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 5 & 2 & -2 2 & -3 & -8 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 )
(Valor: 2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede uma base do espaço linha (row space) e do espaço coluna (column space) da matriz
A= -3 & 2 & 7 & 1 & -5 1 & 0 & -1 & 0 & 2 -1 & 2 & 5 & 2 & -2 2 & -3 & -8 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4
Para isso vamos usar eliminação de Gauss para achar uma forma escalonada por linhas, identificar os pivôs (para o row space) e depois tomar as colunas correspondentes na matriz original (para o column space).

Passo 2

Aplicando operações de linha para chegar a uma forma escalonada: primeiro trocamos a primeira linha pela segunda (para ter pivô 1 na posição (1,1)) e eliminamos abaixo em cada coluna pivô. O resultado final em forma escalonada é
A;xrightarrowGauss; 1 & 0 & -1 & 0 & 2 0 & 2 & 4 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Aqui os pivôs aparecem em coluna 1, coluna 2 e coluna 4, e há exatamente três linhas não nulas, logo rank(A)=3.

Passo 3

Base do espaço linha: basta tomar as três linhas não nulas da forma escalonada. Assim uma base para o row space é
l(1,0,-1,0,2),;(0,2,4,1,1),;(0,0,0,1,-1)r

Passo 4

Base do espaço coluna: tomamos as colunas da matriz original A que correspondem às colunas-pivô (1, 2 e 4). São
-31-121, 202-31, 1021-1
Portanto uma base para o column space é
l,( -3,1,-1,2,1)^T,;(2,0,2,-3,1)^T,;(1,0,2,1,-1)^Tr

Resposta

Base do espaço linha:
(1,0,-1,0,2),;(0,2,4,1,1),;(0,0,0,1,-1)
Base do espaço coluna:
(-3,1,-1,2,1)^T,;(2,0,2,-3,1)^T,;(1,0,2,1,-1)^T

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