Considere a cônica de equação 4 y^2+16 y+x^2+8 x+28=0. Determine em relação sistema x O y :
As equações do eixo focal e do eixo normal.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4y^2+16y+x^2+8x+28=0
e pede as equações do eixo focal (ou eixo maior) e do eixo normal (eixo menor) em relação ao sistema xOy. Para isso, vamos reconhecer que é uma elipse com eixos paralelos às direções x e y, encontrar seu centro e escrever a forma canônica.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e em y:
agrupando em x:
x^2+8x = (x+4)^2 -16,
e em y:
4l(y^2+4yr) =4l[(y+2)^2-4r] =4(y+2)^2-16
Substituindo na equação original:
(x+4)^2-16 + 4(y+2)^2-16 +28 =0 Longrightarrow (x+4)^2 + 4(y+2)^2 -4 =0
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(x+4)^2 + 4(y+2)^2 =4 Longrightarrow (x+4)^24 + (y+2)^21 =1
Dessa forma, o centro da elipse é
C(-4,-2),
com semi-eixo maior a=raiz4=2 na direção x e semi-eixo menor b=raiz1=1 na direção y.

Passo 3

Como a>b, o eixo maior (eixo focal) está alinhado horizontalmente passando pelo centro, e o eixo menor (eixo normal) está alinhado verticalmente passando pelo mesmo centro. Assim:
eixo focal: reta horizontal em y=-2,
eixo normal: reta vertical em x=-4.

Resposta

Eixo focal: y=-2
Eixo normal: x=-4

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