Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da elipse:
centro sobre a reta r: y=2, foco F(3,4), excentricidade e=2 raiz55.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujo centro C está sobre a reta r:y=2, tem um foco em F(3,4) e excentricidade
e=2raiz55
Vamos supor que os eixos da elipse sejam paralelos aos eixos coordenados (caso típico nesses problemas).

Passo 2

Se os eixos são paralelos, o segmento focal está alinhado horizontalmente ou verticalmente. Como o foco dado é F(3,4) e a reta dos centros é y=2, o único modo de ter um foco com ordenada 4 e centro com ordenada 2 é que o eixo maior seja vertical. Logo o centro é
C=(h,2)
e deve satisfazer h=3 para alinhar o foco verticalmente, ou seja
C=(3,2)

Passo 3

Em seguida, a distância focal é
c = dist(C,F) = raiz(3-3)^2 + (4-2)^2 = 2
Pela definição de excentricidade ;e = tfracca, obtemos
a = ce = 2tfrac2raiz55 = 2cdot 52raiz5 = 5raiz5 = raiz5
Logo
a^2 = 5

Passo 4

O semi-eixo menor satisfaz
b^2 = a^2l(1 - e^2r) = 5l(1 - 45r) =5cdot15 =1

Resposta

A equação da elipse é
(x-3)^21 ;+;(y-2)^25 ;=;1

Exercícios relacionados