Seja W subset R^3. Verifique se W é um subespaço de R^3 em cada caso:
W=(x, y, z) / x^2+y^2+z^2 <= 1

Passo 1

O enunciado nos dá
W = (x,y,z)inR^3 mid x^2 + y^2 + z^2 <= 1
e pede para verificar se W é um subespaço de R^3. Para isso, precisamos conferir três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W. Como para (0,0,0) temos
0^2 + 0^2 + 0^2 = 0 <= 1,
seguindo a definição, (0,0,0)in W. Logo, W não é vazio.

Passo 3

Testamos a clausura sob soma. Considere os vetores (1,0,0) e (1,0,0) que satisfazem
1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 <= 1,
logo ambos estão em W. A soma desses vetores é
(1,0,0) + (1,0,0) = (2,0,0),
e
2^2 + 0^2 + 0^2 = 4 not<= 1
Portanto (2,0,0)notin W, mostrando que W não é fechado sob soma.

Passo 4

Para reforçar, podemos também checar a clausura sob multiplicação por escalar. Pegue (1,0,0)in W e o escalar 2. Então
2cdot(1,0,0) = (2,0,0)
já vimos que (2,0,0)notin W. Logo W falha em ser fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é um subespaço de R^3.

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