Seja
. Verifique se
é um subespaço de
em cada caso:
Passo 1
O enunciado nos dá
e pede para verificar se
é um subespaço de
. Para isso, precisamos conferir três propriedades:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
. Como para
temos
seguindo a definição,
. Logo,
não é vazio.
Passo 3
Testamos a clausura sob soma. Considere os vetores
e
que satisfazem
logo ambos estão em
. A soma desses vetores é
e
Portanto
, mostrando que
não é fechado sob soma.
Passo 4
Para reforçar, podemos também checar a clausura sob multiplicação por escalar. Pegue
e o escalar
. Então
já vimos que
. Logo
falha em ser fechado sob multiplicação por escalar.