Em cada um dos seguintes itens, a partir dos elementos dados, determine a equação da hipérbole:
vértices V1(5,4) e V2(1,4) e comprimento do Latus Rectum igual a 5;

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujos vértices são V1(5,4) e V2(1,4) e cujo comprimento do latus rectum é 5. Vamos usar propriedades básicas de hipérboles: centro como ponto médio dos vértices, parâmetro a a partir da distância entre vértices, e relação entre b e o comprimento do latus rectum.

Passo 2

O centro (h,k) é o ponto médio de V1 e V2:
h = 5+12 = 3, k = 4
A distância entre os vértices é 5-1=4, logo
a = 42 = 2,
e portanto a^2 = 4.

Passo 3

Como ambos os vértices têm a mesma ordenada y=4, o eixo transverso é horizontal e a forma padrão da hipérbole é
(x-h)^2a^2 ;-;(y-k)^2b^2 = 1
O comprimento do latus rectum de uma hipérbole x^2/a^2 - y^2/b^2=1 é
L = 2,b^2a
Substituindo L=5 e a=2, vem
5 = 2,b^22 Longrightarrow b^2 = 5

Passo 4

Temos então h=3, k=4, a^2=4 e b^2=5. A equação fica
(x-3)^24 ;-;(y-4)^25 = 1

Resposta

(x-3)^24 ;-;(y-4)^25 = 1

Exercícios relacionados