Considere T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z)
Prove, usando a definição, que T é transformação linear.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - 3y - 2z,;y - 4z,;z,)
Queremos mostrar, pela definição, que T é linear, ou seja, que para quaisquer u,vinR^3 e qualquer escalar c valem
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) (aditividade),
  2. T(c,u) = c,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Sejam
u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2)
Então
u+v = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,),
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T(u+v) = l(,(x1+x2)-3(y1+y2)-2(z1+z2),;(y1+y2)-4(z1+z2),;z1+z2r)
Por outro lado,
T(u) = (,x1-3y1-2z1,;y1-4z1,;z1,), T(v) = (,x2-3y2-2z2,;y2-4z2,;z2,),
e portanto
T(u)+T(v) = l((x1-3y1-2z1)+(x2-3y2-2z2),,(y1-4z1)+(y2-4z2),,z1+z2r)
Agrupando termos, vemos que
T(u+v)=T(u)+T(v)

Passo 3

Seja cinR. Para u=(x1,y1,z1) tem-se
c,u = (c,x1,;c,y1,;c,z1),
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T(c,u) = l(c,x1 -3(c,y1)-2(c,z1),;c,y1 -4(c,z1),;c,z1r) = cl(x1-3y1-2z1,;y1-4z1,;z1r) = c,T(u)

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é transformação linear.

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