Considere T: R^3 R^3 dada por:
T(x, y, z)=(x-3 y-2 z, y-4 z, z)
Determine o subespaço imagem de T e a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-3y-2z,;y-4z,;z),
e pede para encontrar o subespaço imagem de T e sua dimensão. Vamos usar que a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas da matriz de T na base canônica.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica. Se v=(x,y,z), então T(v)=Av com
A = 1 & -3 & -2 0 & 1 & -4 0 & 0 & 1 ,
cujas colunas são
c1=(1,0,0), c2=(-3,1,0) e c3=(-2,-4,1). Logo
Im(T)=spanc1,c2,c3

Passo 3

Para ver a independência das colunas, note que A é triangular superior com entradas da diagonal principal todas iguais a 1. Assim
det A = 1cdot1cdot1 = 1 neq 0,
logo rank(A)=3. Isso implica que as três colunas são linearmente independentes e geram todo R^3.

Resposta

A imagem de T é
Im(T)=R^3
e a sua dimensão é
diml(Im(T)r)=3

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