Considere
dada por:
Determine o subespaço imagem de
e a sua dimensão.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede para encontrar o subespaço imagem de
e sua dimensão. Vamos usar que a imagem de
é o espaço gerado pelas colunas da matriz de
na base canônica.
Passo 2
Escrevemos a matriz de
na base canônica. Se
, então
com
cujas colunas são
c1=(1,0,0) ,
c2=(-3,1,0) e
c3=(-2,-4,1) . Logo
Passo 3
Para ver a independência das colunas, note que
A é triangular superior com entradas da diagonal principal todas iguais a
1 . Assim
logo
rank(A)=3 . Isso implica que as três colunas são linearmente independentes e geram todo
R^3 .
Resposta
A imagem de
T é
e a sua dimensão é