Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}. A=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ 6 & -1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]6 & -1\end{pmatrix}
e pede:
determinar os autovalores de A;
para cada autovalor, encontrar uma base do autoespaço correspondente (ou seja, vetores próprios);
dizer se A é diagonalizável; se sim, encontrar P tal que A=PDP^{-1};
calcular A^{100}.
Informações relevantes dadas: a própria matriz A. Não há outras condições escondidas.]
Passo 2
O que é preciso fazer primeiro — e por que — é calcular os autovalores. Um autovalor \lambda satisfaz
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Para uma matriz 2\times2 isso basta porque os autovalores são as raízes do polinômio característico. Vamos calcular esse determinante passo a passo:
\begin{cases} 2x + 0\cdot y = 0\\[4pt] 6x + 0\cdot y = 0. \end{cases}
Ambas implicam x=0\], e \(y é livre. Assim os vetores próprios têm a forma
v = y\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad y\in\mathbb{R},\\ y\neq 0.
Uma base para o autoespaço de \lambda=-1 é \left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.]
Passo 5
Critério de diagonalizabilidade usado (explicação didática): uma matriz n\times n é diagonalizável se existir uma base do espaço formada por n vetores próprios linearmente independentes. Um caso simples e muito útil: se uma matriz n\times n tem n autovalores distintos (ou seja, todos diferentes), então ela tem n autovetores linearmente independentes e assim é diagonalizável. Aqui temos dois autovalores distintos para uma matriz 2\times2, logo A é diagonalizável.
Para construir P e D tomamos como colunas de P vetores próprios correspondendo às entradas de D. Vou escolher a ordem \lambda=1 primeiro e \lambda=-1 segundo. Assim:
onde a primeira coluna de P é o autovetor \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} (para \lambda=1) e a segunda é \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} (para \lambda=-1).
Para verificar e para poder usar a diagonalização, precisamos de P^{-1}. O determinante de P é
\det(P)=1\cdot 1 - 0\cdot 3 = 1,
então P é invertível e sua inversa, pela fórmula de inversa para 2\times2, é
Observação alternativa (útil para a prova): já que A tem autovalores 1 e -1, e neste caso verificamos também que A^{2}=I (pode-se multiplicar A por si mesma para checar), então A^{100}=(A^{2})^{50}=I^{50}=I. Ambas as estratégias dão o mesmo resultado.]
Resposta
Autovalores: \lambda=1,\\ \lambda=-1
Base do autoespaço de \lambda=1: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}\right\}
Base do autoespaço de \lambda=-1: \left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\} A é diagonalizável? Sim.
Uma escolha de P e D tal que A=PDP^{-1}: