Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}.
A=\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede:
  • Determinar os autovalores de A.
  • Para cada autovalor, determinar uma base do autoespaço (ou seja, os autovetores).
  • Dizer se A é diagonalizável; se for, encontrar P tal que A = P D P^{-1}.
  • Calcular A^{100}.
As informações dadas são a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 2

Para achar os autovalores precisamos calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Vou executar isto passo a passo.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt] 1 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
Usando a fórmula do determinante de 2\times2, \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc, obtemos
\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(4-\lambda)-(-1)\cdot 1.
Vou desenvolver:
(2-\lambda)(4-\lambda)=8-2\lambda-4\lambda+\lambda^2=\lambda^2-6\lambda+8.
Somando o +1 (porque -(-1)\cdot1=+1) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-6\lambda+9.]

Passo 3

Agora fatoro o polinômio \lambda^2-6\lambda+9. Repare que é um quadrado perfeito:
\lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2.
Portanto o único autovalor é \lambda=3, com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Precisamos achar o autoespaço associado a \lambda=3, isto é o espaço solução de (A-3I)x=0.
Calculo A-3I:
A-3I=\begin{pmatrix}2-3 & -1\\[4pt] 1 & 4-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Se x=(x_1,x_2)^T então (A-3I)x=0 dá o sistema
- x_1 - x_2 = 0,
a segunda equação é a mesma: x_1 + x_2 = 0. Logo x_1 = -x_2.
Portanto os vetores do autoespaço têm a forma (t,-t)^T = t(1,-1)^T. Uma base para o autoespaço é então
\{\,\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\,\}.
A multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) é 1.]

Passo 5

Como o autovalor \lambda=3 tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1, a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica. Isso implica que A não tem duas direções linearly independentes de autovetores: ou seja, A NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Portanto não existe matriz P invertível com duas colunas de autovetores que diagonalize A. Porém podemos usar a forma de Jordan para computar potências, que é o caminho natural quando há um bloco de Jordan de tamanho 2.

Passo 6

Vou construir uma cadeia de Jordan (autovetor + autovetor generalizado) para escrever A=PJP^{-1}, onde J é o bloco de Jordan 2\times2 com valor próprio 3:
J=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Já temos um autovetor v correspondente a \lambda=3:
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad Av=3v.
Agora procuramos um vetor generalizado w tal que (A-3I)w=v. Escrevo w=(a,b)^T e resolvo:
\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Isso leva à equação única -a-b=1 (a segunda é redundante). Uma escolha simples é a=0,\\ b=-1. Assim um vetor generalizado é
w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Verifico que Aw=3w+v, que é a relação que garante a forma de Jordan.
Formo a matriz P cujas colunas são v e w:
P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}.
Com essa ordem de colunas obtemos
P^{-1}AP=J=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Observação prática: o determinante de P é -1, e computando a inversa pelo método usual obtemos P^{-1}=P (isto é, P é sua própria inversa nesta escolha), o que facilita cálculos. (Pode-se checar multiplicando P por si mesma e obtendo a identidade.)]

Passo 7

Para elevar A à potência 100 uso a decomposição de Jordan:
A = PJP^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{100}=PJ^{100}P^{-1}.
Agora preciso calcular J^{100}. Escrevo J=3I+N, onde
N=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
e N^2=0 (nilpotente de ordem 2). Pela fórmula do binômio de Newton para matrizes:
(3I+N)^{100}=\sum_{k=0}^{100}\binom{100}{k}3^{100-k}N^k.
Como N^2=0 só os termos k=0 e k=1 permanecem:
J^{100}=3^{100}I + \binom{100}{1}3^{99}N = 3^{100}I + 100\cdot 3^{99}N.
Escrevendo em forma matricial:
J^{100}=\begin{pmatrix}3^{100} & 100\cdot 3^{99}\\[4pt] 0 & 3^{100}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora calculo A^{100}=PJ^{100}P^{-1}. Como notei antes, com a P escolhida temos P^{-1}=P, então A^{100}=P\,J^{100}\,P. Faço os produtos passo a passo.
Defino a=3^{100} e b=100\cdot 3^{99} para simplificar símbolos. Então
J^{100}=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] 0 & a\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix}.
Primeiro computo M=J^{100}P:
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] 0 & a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a-b & -b\\[4pt]-a & -a\end{pmatrix}.
Depois A^{100}=P M:
A^{100}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a-b & -b\\[4pt]-a & -a\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a-b & -b\\[4pt]b & a+b\end{pmatrix}.
Substituindo a=3^{100} e b=100\cdot 3^{99} e simplificando por 3^{99} (opcional) obtemos uma forma mais compacta:
A^{100}=\begin{pmatrix}3^{100}-100\cdot 3^{99} & -100\cdot 3^{99}\\[4pt] 100\cdot 3^{99} & 3^{100}+100\cdot 3^{99}\end{pmatrix}.
Fatorando 3^{99}:
A^{100}=3^{99}\begin{pmatrix}-97 & -100\\[4pt] 100 & 103\end{pmatrix},
pois 3^{100}-100\cdot3^{99}=3^{99}(3-100)=-97\cdot 3^{99}, etc.]

Resposta

Autovalores: \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2).
Base do autoespaço de \lambda=3: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.
A é diagonalizável? Não (multiplicidade geométrica = 1 < multiplicidade algébrica = 2).
Uma decomposição de Jordan: A=PJP^{-1} com
P=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Potência A^{100}:
A^{100}=\begin{pmatrix}3^{100}-100\cdot 3^{99} & -100\cdot 3^{99}\\[4pt] 100\cdot 3^{99} & 3^{100}+100\cdot 3^{99}\end{pmatrix} =3^{99}\begin{pmatrix}-97 & -100\\[4pt] 100 & 103\end{pmatrix}.

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