Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}. A=\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\\\ 1 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede:
Determinar os autovalores de A.
Para cada autovalor, determinar uma base do autoespaço (ou seja, os autovetores).
Dizer se A é diagonalizável; se for, encontrar P tal que A = P D P^{-1}.
a segunda equação é a mesma: x_1 + x_2 = 0. Logo x_1 = -x_2.
Portanto os vetores do autoespaço têm a forma (t,-t)^T = t(1,-1)^T. Uma base para o autoespaço é então
\{\,\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\,\}.
A multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) é 1.]
Passo 5
Como o autovalor \lambda=3 tem multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 1, a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica. Isso implica que A não tem duas direções linearly independentes de autovetores: ou seja, A NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Portanto não existe matriz P invertível com duas colunas de autovetores que diagonalize A. Porém podemos usar a forma de Jordan para computar potências, que é o caminho natural quando há um bloco de Jordan de tamanho 2.
Passo 6
Vou construir uma cadeia de Jordan (autovetor + autovetor generalizado) para escrever A=PJP^{-1}, onde J é o bloco de Jordan 2\times2 com valor próprio 3:
J=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Já temos um autovetor v correspondente a \lambda=3:
Observação prática: o determinante de P é -1, e computando a inversa pelo método usual obtemos P^{-1}=P (isto é, P é sua própria inversa nesta escolha), o que facilita cálculos. (Pode-se checar multiplicando P por si mesma e obtendo a identidade.)]
Passo 7
Para elevar A à potência 100 uso a decomposição de Jordan:
A = PJP^{-1}\quad\Rightarrow\quad A^{100}=PJ^{100}P^{-1}.
Agora preciso calcular J^{100}. Escrevo J=3I+N, onde
N=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
e N^2=0 (nilpotente de ordem 2). Pela fórmula do binômio de Newton para matrizes:
Base do autoespaço de \lambda=3: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}. A é diagonalizável? Não (multiplicidade geométrica = 1 < multiplicidade algébrica = 2).
Uma decomposição de Jordan: A=PJP^{-1} com