Dada a matriz A e seus autovalores, encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor dado. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, calcule A^{5}.
A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right], \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3.

Passo 1

O enunciado pede que, dada a matriz A e seus autovalores \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3, a gente:
  1. Encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor (ou seja, para cada \lambda_i achar todos os vetores v tais que (A-\lambda_i I)v=0).
  2. Diga se A é diagonalizável.
  3. Se for diagonalizável, calcule A^{5}.
Informações fornecidas:
A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad \lambda_{1}=1,\\ \lambda_{2}=2,\\ \lambda_{3}=3.

Passo 2

Conceito rápido e prático (tipo “aula curtinha”): o autoespaço associado a um autovalor \lambda é o conjunto dos vetores próprios correspondentes, isto é, a solução do sistema linear
(A-\lambda I)x=0.
Para cada \lambda vamos montar A-\lambda I, resolver o sistema por eliminação e extrair uma base (vetor não-nulo gerador do autoespaço). Vou mostrar cada cálculo passo a passo.

Passo 3

Autovalor \lambda_{1}=1\). Calcule \(A-I\): \[A-I=\begin{pmatrix}4-1 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1-1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\\\ -2 & 0 & 0 \\\\ -2 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Resolvemos (A-I)x=0. Escrevendo x=(x,y,z)^{T}, o sistema é
\begin{cases} 3x+z=0,\\\\ -2x=0,\\\\ -2x=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=0\]. Substituindo na primeira dá \(z=0. A variável y não aparece em nenhuma equação, logo é livre. Portanto os vetores próprios têm forma
x=(0,y,0)=y(0,1,0).
Uma base para o autoespaço correspondente a \lambda_{1}=1 é, por exemplo,
\{(0,1,0)\}.

Passo 4

Autovalor \lambda_{2}=2\). Calcule \(A-2I\): \[A-2I=\begin{pmatrix}4-2 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1-2 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\\\ -2 & -1 & 0 \\\\ -2 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-2I)x=0 com x=(x,y,z)^{T} obtemos o sistema
\begin{cases} 2x+z=0,\\\\ -2x-y=0,\\\\ -2x-z=0. \end{cases}
Da primeira equação z=-2x\]. Da segunda \(y=-2x. A terceira é redundante (substituindo z=-2x 0=0). Tomando parâmetro t=x, temos
x=t,\quad y=-2t,\quad z=-2t,
ou seja os vetores próprios são múltiplos de (1,-2,-2). Uma base para o autoespaço de \lambda_{2}=2 é
\{(1,-2,-2)\}.

Passo 5

Autovalor \lambda_{3}=3\). Calcule \(A-3I\): \[A-3I=\begin{pmatrix}4-3 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1-3 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\\\ -2 & -2 & 0 \\\\ -2 & 0 & -2\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-3I)x=0 com x=(x,y,z)^{T}:
\begin{cases} x+z=0,\\\\ -2x-2y=0,\\\\ -2x-2z=0. \end{cases}
Da primeira z=-x\]. Da segunda \(y=-x. A terceira é consequência das outras. Tomando t=x obtemos
x=t,\quad y=-t,\quad z=-t,
ou seja vetores próprios múltiplos de (1,-1,-1). Uma base para o autoespaço de \lambda_{3}=3 é
\{(1,-1,-1)\}.

Passo 6

Resumo das bases encontradas (já deu pra perceber): cada autovalor tem autoespaço de dimensão 1 e gerador mostrado. Agora sobre diagonalizabilidade: uma matriz n\times n é diagonalizável quando existe uma base do espaço formada por vetores próprios (ou seja, quando a soma das dimensões dos autoespaços é n). Aqui A é 3\times3 e encontramos três vetores próprios independentes (um para cada autovalor distinto). Além disso, um fato prático que a gente usa sempre: se uma matriz tem n autovalores distintos, ela é diagonalizável; neste caso os três autovalores são distintos ( 1,2,3), então A é diagonalizável. Vou, por completude, montar a diagonalização e usar para calcular A^{5}.

Passo 7

Montando a matriz P cujas colunas são os vetores próprios correspondentes às ordens \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=3:
P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \qquad D=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&2&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix},
de modo que A=PDP^{-1}. Verificamos que \det(P)=-1\neq 0, então P é invertível (já era esperado pela diagonalizabilidade).

Passo 8

Calculando P^{-1} de forma direta (cofatores e adjunta). A matriz dos cofatores (transposta dá a adjunta) resulta em
\operatorname{adj}(P)=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -2 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Como \det(P)=-1, tem-se
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\operatorname{adj}(P)=-\operatorname{adj}(P)= \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(Dica prática: sempre que der, vale checar multiplicando P^{-1}P para ver se sai a identidade; aqui checa-se que funciona.)

Passo 9

Para calcular A^{5} usamos a propriedade da diagonalização:
A^{5}=(PDP^{-1})^{5}=PD^{5}P^{-1},
porque P^{-1}P=I e a diagonal é fácil de elevar. Calculamos
D^{5}=\begin{pmatrix}1^{5}&0&0\\\ 0&2^{5}&0\\\ 0&0&3^{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&32&0\\\ 0&0&243\end{pmatrix}.

Passo 10

Calculemos D^{5}P^{-1} (multiplicar a diagonal à esquerda apenas escala as linhas de P^{-1}):
D^{5}P^{-1}= \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&32&0\\\ 0&0&243\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ -1 & 0 & -1\\\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ -32 & 0 & -32\\\\ 486 & 0 & 243 \end{pmatrix}.
Agora multiplica-se P por essa matriz:
A^{5}=P(D^{5}P^{-1})= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\\\ -32 & 0 & -32\\\\ 486 & 0 & 243 \end{pmatrix}.

Passo 11

Fazendo a multiplicação linha por coluna passo a passo (mostro os resultados finais das entradas):
  • Primeira linha de A^{5}:
    • entrada (1,1): 0\cdot0 + 1\cdot(-32) + 1\cdot486 = 454.
    • entrada (1,2): 0\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 = 0.
    • entrada (1,3): 0\cdot(-1) + 1\cdot(-32) + 1\cdot243 = 211.
  • Segunda linha de A^{5}:
    • entrada (2,1): 1\cdot0 + (-2)\cdot(-32) + (-1)\cdot486 = -422.
    • entrada (2,2): 1\cdot1 + (-2)\cdot0 + (-1)\cdot0 = 1.
    • entrada (2,3): 1\cdot(-1) + (-2)\cdot(-32) + (-1)\cdot243 = -180.
  • Terceira linha de A^{5}:
    • entrada (3,1): 0\cdot0 + (-2)\cdot(-32) + (-1)\cdot486 = -422.
    • entrada (3,2): 0\cdot1 + (-2)\cdot0 + (-1)\cdot0 = 0.
    • entrada (3,3): 0\cdot(-1) + (-2)\cdot(-32) + (-1)\cdot243 = -179.
Portanto
A^{5}=\begin{pmatrix} 454 & 0 & 211\\\\ -422 & 1 & -180\\\\ -422 & 0 & -179 \end{pmatrix}.

Resposta

\text{Base do autoespaço de }\lambda_{1}=1:\\ \{(0,1,0)\}ç
\text{Base do autoespaço de }\lambda_{2}=2:\\ \{(1,-2,-2)\}ç
\text{Base do autoespaço de }\lambda_{3}=3:\\ \{(1,-1,-1)\}ç
\text{A é diagonalizável: sim}éá
\displaystyle A^{5}=\begin{pmatrix}454 & 0 & 211\\[4pt]-422 & 1 & -180\\[4pt]-422 & 0 & -179\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados