Dada a matriz A e seus autovalores, encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor dado. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, calcule A^{5}. A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 0 & 1\end{array}\right], \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3.
Passo 1
O enunciado pede que, dada a matriz A e seus autovalores \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3, a gente:
Encontre uma base para o autoespaço associado a cada autovalor (ou seja, para cada \lambda_i achar todos os vetores v tais que (A-\lambda_i I)v=0).
Conceito rápido e prático (tipo “aula curtinha”): o autoespaço associado a um autovalor \lambda é o conjunto dos vetores próprios correspondentes, isto é, a solução do sistema linear
(A-\lambda I)x=0.
Para cada \lambda vamos montar A-\lambda I, resolver o sistema por eliminação e extrair uma base (vetor não-nulo gerador do autoespaço). Vou mostrar cada cálculo passo a passo.
Da segunda equação vem x=0\]. Substituindo na primeira dá \(z=0. A variável y não aparece em nenhuma equação, logo é livre. Portanto os vetores próprios têm forma
x=(0,y,0)=y(0,1,0).
Uma base para o autoespaço correspondente a \lambda_{1}=1 é, por exemplo,
Da primeira z=-x\]. Da segunda \(y=-x. A terceira é consequência das outras. Tomando t=x obtemos
x=t,\quad y=-t,\quad z=-t,
ou seja vetores próprios múltiplos de (1,-1,-1). Uma base para o autoespaço de \lambda_{3}=3 é
\{(1,-1,-1)\}.
Passo 6
Resumo das bases encontradas (já deu pra perceber): cada autovalor tem autoespaço de dimensão 1 e gerador mostrado. Agora sobre diagonalizabilidade: uma matriz n\times n é diagonalizável quando existe uma base do espaço formada por vetores próprios (ou seja, quando a soma das dimensões dos autoespaços é n). Aqui A é 3\times3 e encontramos três vetores próprios independentes (um para cada autovalor distinto). Além disso, um fato prático que a gente usa sempre: se uma matriz tem n autovalores distintos, ela é diagonalizável; neste caso os três autovalores são distintos (1,2,3), então A é diagonalizável. Vou, por completude, montar a diagonalização e usar para calcular A^{5}.
Passo 7
Montando a matriz P cujas colunas são os vetores próprios correspondentes às ordens \lambda_{1}=1,\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=3:
\text{Base do autoespaço de }\lambda_{1}=1:\\ \{(0,1,0)\}ç \text{Base do autoespaço de }\lambda_{2}=2:\\ \{(1,-2,-2)\}ç \text{Base do autoespaço de }\lambda_{3}=3:\\ \{(1,-1,-1)\}ç \text{A é diagonalizável: sim}éá