Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}. A=\left[\begin{array}{ll}2 & 7 \\\\ 7 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 7 \\[4pt] 7 & 2\end{pmatrix}
Determinar os autovalores (autovalores = valores próprios) de A.
Para cada autovalor, encontrar uma base do correspondente autoespaço (autovetores).
Dizer se A é diagonalizável. Em caso afirmativo, fornecer uma matriz P tal que A=P\cdot D\cdot P^{-1}.
Calcular A^{100}.
Informações dadas: a própria matriz A (mostrada acima). Não há outras restrições ou condições adicionais no enunciado.]
Passo 2
O que é um autovalor e como achá-lo (aula curta e prática).
Um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que A v=\lambda v.
Isso equivale a resolver (A-\lambda I)v=0. Para existir solução não-trivial, precisamos que \det(A-\lambda I)=0. Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico.
Para matrizes 2\times2, \det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\\ c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc. Vou aplicar isso a A.
Teorema útil: se uma matriz n\times n tem n autovalores distintos, então ela é diagonalizável, pois existem n autovetores linearmente independentes.
Aqui temos dois autovalores distintos (9 e -5) para uma matriz 2\times2. Portanto existem dois autovetores linearmente independentes. Concluímos que A é diagonalizável.
Também podemos montar a matriz P cujas colunas são os autovetores e verificar que \det P\neq 0, confirmando inversibilidade.
Passo 6
Escolhemos como coluna 1 um autovetor associado a \lambda=9 e como coluna 2 um autovetor associado a \lambda=-5. Portanto uma escolha natural é