Para cada uma das seguintes matrizes, determine os autovalores e uma base para cada autoespaço. A matriz A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine a matriz P tal que A=P \cdot D \cdot P^{-1} calcule A^{100}.
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 7 \\\\ 7 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 7 \\[4pt] 7 & 2\end{pmatrix}
  1. Determinar os autovalores (autovalores = valores próprios) de A.
  2. Para cada autovalor, encontrar uma base do correspondente autoespaço (autovetores).
  3. Dizer se A é diagonalizável. Em caso afirmativo, fornecer uma matriz P tal que A=P\cdot D\cdot P^{-1}.
  4. Calcular A^{100}.
Informações dadas: a própria matriz A (mostrada acima). Não há outras restrições ou condições adicionais no enunciado.]

Passo 2

O que é um autovalor e como achá-lo (aula curta e prática).
  • Um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não-nulo v tal que A v=\lambda v.
  • Isso equivale a resolver (A-\lambda I)v=0. Para existir solução não-trivial, precisamos que \det(A-\lambda I)=0. Essa equação em \lambda chama-se polinômio característico.
  • Para matrizes 2\times2, \det\begin{pmatrix}a-\lambda & b\\\ c & d-\lambda\end{pmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc. Vou aplicar isso a A.
Calculemos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 7\\[4pt]7 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2-7\cdot7.]

Passo 3

Continuando a conta do polinômio característico (desenvolvendo e resolvendo a equação):
(2-\lambda)^2-49=\lambda^2-4\lambda+4-49=\lambda^2-4\lambda-45.
Precisamos resolver \lambda^2-4\lambda-45=0. Usamos a fórmula quadrática ou fatoração. A discriminante é
\Delta = (-4)^2-4\cdot1\cdot(-45)=16+180=196,
portanto \sqrt{\Delta}=14. As raízes são
\lambda=\frac{4\pm14}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1= \frac{4+14}{2}=9,\qquad \lambda_2=\frac{4-14}{2}=-5.

Passo 4

Agora encontramos os autovetores (autoespaços) correspondentes. Método: para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda=9:
A-9I=\begin{pmatrix}2-9 & 7\\[4pt]7 & 2-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7 & 7\\[4pt]7 & -7\end{pmatrix}.
A equação (A-9I)\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=0
-7x+7y=0 \quad\Longrightarrow\quad -x+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=x.
Portanto os vetores próprios associados a \lambda=9 são todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}. Uma base do autoespaço é
\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Para \lambda=-5:
A-(-5)I=A+5I=\begin{pmatrix}2+5 & 7\\[4pt]7 & 2+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 & 7\\[4pt]7 & 7\end{pmatrix}.
A equação (A+5I)\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}=0
7x+7y=0 \quad\Longrightarrow\quad x+y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-x.
Logo os vetores próprios são todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}. Uma base do autoespaço é
\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.]

Passo 5

Verificação de diagonalizabilidade (explicação):
  • Teorema útil: se uma matriz n\times n tem n autovalores distintos, então ela é diagonalizável, pois existem n autovetores linearmente independentes.
  • Aqui temos dois autovalores distintos ( 9 e -5) para uma matriz 2\times2. Portanto existem dois autovetores linearmente independentes. Concluímos que A é diagonalizável.
Também podemos montar a matriz P cujas colunas são os autovetores e verificar que \det P\neq 0, confirmando inversibilidade.

Passo 6

Escolhemos como coluna 1 um autovetor associado a \lambda=9 e como coluna 2 um autovetor associado a \lambda=-5. Portanto uma escolha natural é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix}.
Com esta escolha teremos A=P\cdot D\cdot P^{-1} (isto segue da teoria dos autovetores e autovalores).]

Passo 7

Calculamos P^{-1} passo a passo (fórmula da inversa de 2\times2). Para
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}
o determinante é
\det P = (1)(-1)-(1)(1)=-1-1=-2.
A inversa de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}. Aplicando:
P^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Como A=PDP^{-1}, para potências vale
A^{100}=P D^{100} P^{-1}.
E como D é diagonal, D^{100} é simplesmente cada entrada diagonal elevada a 100:
D^{100}=\begin{pmatrix}9^{100} & 0\\[4pt]0 & (-5)^{100}\end{pmatrix}.
Observe que 100 é par, então (-5)^{100}=5^{100}.]

Passo 9

Agora fazemos a multiplicação para obter A^{100} explicitamente. Seja a=9^{100} e b=5^{100} (só para simplificar a escrita). Então
P D^{100}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & 0\\[4pt]0 & b\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]a & -b\end{pmatrix}.
Multiplicando pela P^{-1} que já achamos,
A^{100}=(P D^{100})P^{-1}= \begin{pmatrix}a & b\\[4pt]a & -b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Calculando entradas (fazendo produto linha×coluna) obtemos
A^{100}=\begin{pmatrix}\dfrac{a+b}{2} & \dfrac{a-b}{2}\\[8pt]\dfrac{a-b}{2} & \dfrac{a+b}{2}\end{pmatrix},
onde a=9^{100} e b=5^{100}. Substituindo,
A^{100}=\begin{pmatrix}\dfrac{9^{100}+5^{100}}{2} & \dfrac{9^{100}-5^{100}}{2}\\[8pt]\dfrac{9^{100}-5^{100}}{2} & \dfrac{9^{100}+5^{100}}{2}\end{pmatrix}.]

Resposta

Autovalores: \lambda_1=9, \lambda_2=-5.
Base do autoespaço de \lambda_1=9: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Base do autoespaço de \lambda_2=-5: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}\right\}.
A é diagonalizável: Sim. Uma escolha de P e D é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}9 & 0\\[4pt]0 & -5\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},
de modo que A=PDP^{-1}.
A^{100}=\displaystyle\begin{pmatrix}\dfrac{9^{100}+5^{100}}{2} & \dfrac{9^{100}-5^{100}}{2}\\[8pt]\dfrac{9^{100}-5^{100}}{2} & \dfrac{9^{100}+5^{100}}{2}\end{pmatrix}.]

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