Seja V=R^3 com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Verifique se W é um subespaço vetorial de V, nos seguintes casos:
(a) W=(u1, u2, u3) in R^3 ; u2=5 u1, u3=u1

Passo 1

Resumo do enunciado: tenha-se o espaço vetorial V=R^3 com as operações usuais e o subconjunto
W = (u1,u2,u3)inR^3 : u2 = 5u1,;u3 = u1
Conteúdo: teoria de subespaços vetoriais. Para mostrar que W é subespaço de V, precisamos verificar três propriedades: (i) W não é vazio (contém o vetor zero), (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que W não é vazio. O vetor zero em R^3 é (0,0,0). Veja se (0,0,0) satisfaz as condições de W:
u1=0 Rightarrow u2 = 5u1 = 0, u3 = u1 = 0
Logo (0,0,0)in W, portanto Wneqemptyset.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Seja
u=(u1,5u1,u1)in W, v=(v1,5v1,v1)in W
Então
u+v = (u1+v1,;5u1+5v1,;u1+v1)
Note que
5u1+5v1 = 5(u1+v1), u1+v1 = (u1+v1),
ou seja, a soma satisfaz as mesmas equações (u+v)2 = 5(u+v)1 e (u+v)3 = (u+v)1. Logo u+vin W.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e
u=(u1,5u1,u1)in W
Então
alpha u = (alpha u1,;alphacdot 5u1,;alpha u1) = (alpha u1,;5(alpha u1),;alpha u1)
Portanto (alpha u)2 = 5(alpha u)1 e (alpha u)3 = (alpha u)1, isto é, alpha uin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V=R^3.

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