Seja
com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Verifique se
é um subespaço vetorial de
, nos seguintes casos:
(a)
(a)
Passo 1
Resumo do enunciado: tenha-se o espaço vetorial
com as operações usuais e o subconjunto
Conteúdo: teoria de subespaços vetoriais. Para mostrar que
é subespaço de
, precisamos verificar três propriedades: (i)
não é vazio (contém o vetor zero), (ii) é fechado sob adição e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que
não é vazio. O vetor zero em
é
. Veja se
satisfaz as condições de
:
Logo
, portanto
.
Passo 3
Verificar fechamento sob adição. Seja
Então
Note que
ou seja, a soma satisfaz as mesmas equações
e
. Logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
Então
Portanto
e
, isto é,
.