Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para qual P^{t} A P seja diagonal.
(a) A=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar ortogonalmente a matriz simétrica
A = \begin{pmatrix}2 & 2\\\ 2 & 2\end{pmatrix}
ou seja, encontrar uma matriz ortogonal P tal que P^t A P seja diagonal. Pelo Teorema Espectral, basta achar os autovalores de A e seus autovetores ortonormais.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}2-\lambda & 2\\\ 2 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)^2 - 2\cdot2 =\lambda^2 -4\lambda =\lambda(\lambda-4).
Logo, os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_2=4.

Passo 3

Para \lambda_2=4, resolvemos (A-4I)v=0:
\begin{pmatrix}-2 & 2\\\ 2 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x=y,
de onde um autovetor é v_2=(1,1).
Para \lambda_1=0, resolvemos A\,v=0:
\begin{pmatrix}2 & 2\\\ 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; x=-y,
de onde um autovetor é v_1=(1,-1).

Passo 4

Agora basta normalizar os autovetores para obter uma base ortonormal. Temos
\|v_2\| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, \quad \|v_1\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2.
Logo, podemos escolher
p_2 = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad p_1 = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
Montando
P = \bigl[p_2\;\;p_1\bigr] = \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix},
garantimos que P é ortogonal ( P^tP=I) e que suas colunas são autovetores de A.

Resposta

P = \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^t A P = \begin{pmatrix} 4 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

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