Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para qual P^{t} A P seja diagonal.
(b) A=\left(\begin{array}{cc}3 & -1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a diagonalização ortogonal de
A = \begin{pmatrix}3 & -1\\[6pt] -1 & 3\end{pmatrix},
isto é, encontrar uma matriz ortogonal P cujas colunas são autovetores unitários de A, de modo que
P^{t}AP
seja diagonal. Vamos usar o procedimento padrão de cálculo de autovalores e autovetores de matrizes simétricas e depois normalizar os autovetores.]

Passo 2

Determinamos os autovalores de A resolvendo o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt]-1 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8.
As raízes são
\lambda_1 = 2 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 4.]

Passo 3

Para \lambda_1 = 2, resolvemos (A - 2I)v = 0:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x = y.
Um autovetor correspondente é v_1 = \bigl(1,1\bigr)^{t}.
Para \lambda_2 = 4, resolvemos (A - 4I)v = 0:
\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt]-1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[3pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; y = -x.
Um autovetor correspondente é v_2 = \bigl(1,-1\bigr)^{t}.]

Passo 4

Normalizamos v_1 e v_2 para obter uma base ortonormal:
u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[3pt]1\end{pmatrix}, \qquad u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[3pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Colocamos u_1 e u_2 como colunas de P:
P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.
Como P é ortogonal, P^{t}AP dá a forma diagonal com autovalores na diagonal:
P^{t}AP = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

Resposta

P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 1 & -1 \end{pmatrix},
pois então
P^{t} A P = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

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