Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para qual P^{t} A P seja diagonal.
(c) A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
isto é, encontrar uma matriz ortogonal P tal que
P^{t} A P
seja diagonal. Vamos usar o teorema espectral para matrizes reais simétricas: seus autovetores formam uma base ortonormal, e aí P é a matriz cujas colunas são esses autovetores normalizados.

Passo 2

Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I). Como A tem bloco \bigl[\begin{smallmatrix}1&1\\\ 1&1\end{smallmatrix}\bigr] no subespaço das coordenadas x,z e -1 na coordenada y,
\det(A - \lambda I) =\bigl(-1-\lambda\bigr)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\\ 1&1-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)\bigl((1-\lambda)^{2}-1\bigr)
=(-1-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-2\lambda\bigr) =-\lambda(\lambda-2)(\lambda+1).
Logo os autovalores são
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=0,\quad \lambda_3=-1.

Passo 3

Encontrar os autovetores:
Para \lambda_{1}=2\), resolvemos \((A-2I)v=0\). Isso dá \[\begin{cases} (1-2)x + 1\cdot z =0\;\Rightarrow\;-x+z=0,\\\\ -1\cdot y =0\;\Rightarrow\;y=0,\\\\ 1\cdot x + (1-2)z=0\;\Rightarrow\;x-z=0. \end{cases}
Então z=x\] e \[y=0. Um autovetor conveniente é
v_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=0, resolvemos A\,v=0, que dá
\begin{cases} x+z=0,\\\\ -\,y=0,\\\ x+z=0. \end{cases}
Logo z=-x\] e \(y=0. Um autovetor é
v_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{3}=-1, basta notar que
A\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} =-1\cdot\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
logo
v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Normalizar os autovetores para que fiquem ortonormais. As normas são
\|v_{1}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},\quad \|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2},\quad \|v_{3}\|=1.
Então definimos
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad u_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad u_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Montar a matriz ortogonal P cujas colunas são u_{1},u_{2},u_{3}. Assim,
P=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.
Por construção, P^{t}P=I e
P^{t} A P = \operatorname{diag}(2,\,0,\,-1).

Resposta

A matriz ortogonal que diagonaliza A é
P=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix},
e
P^{t} A P = \begin{pmatrix}2&0&0\\\ 0&0&0\\\ 0&0&-1\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados