Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A, encontrar uma matriz ortogonal P, para qual P^{t} A P seja diagonal.
(c) A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz simétrica
seja diagonal. Vamos usar o teorema espectral para matrizes reais simétricas: seus autovetores formam uma base ortonormal, e aí P é a matriz cujas colunas são esses autovetores normalizados.
Passo 2
Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I). Como A tem bloco \bigl[\begin{smallmatrix}1&1\\\ 1&1\end{smallmatrix}\bigr] no subespaço das coordenadas x,z e -1 na coordenada y,
Para \lambda_{1}=2\), resolvemos \((A-2I)v=0\). Isso dá
\[\begin{cases} (1-2)x + 1\cdot z =0\;\Rightarrow\;-x+z=0,\\\\ -1\cdot y =0\;\Rightarrow\;y=0,\\\\ 1\cdot x + (1-2)z=0\;\Rightarrow\;x-z=0. \end{cases}