Seja o operador linar T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(a x, b y+c z, c y+b z)
onde a, b, c \in \mathbb{R}.
(a) Mostre que os valores próprios (auto-valores) de T são: a, b+c e b-c.
(b) Encontre os vetores próprios de T associados aos valores próprios do ítem (a).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z) = (a x,\;b y + c z,\;c y + b z).
O conteúdo é Álgebra Linear: definimos a matriz de T na base canônica, calculamos o polinômio característico para achar os autovalores e, em seguida, resolvemos (T-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
Passo 2
Na base canônica, a matriz de T é
M = \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & c\\\\ 0 & c & b \end{pmatrix}.