Seja o operador linar T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por
T(x, y, z)=(a x, b y+c z, c y+b z)
onde a, b, c \in \mathbb{R}.
(a) Mostre que os valores próprios (auto-valores) de T são: a, b+c e b-c.
(b) Encontre os vetores próprios de T associados aos valores próprios do ítem (a).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores do operador linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\quad T(x,y,z) = (a x,\;b y + c z,\;c y + b z).
O conteúdo é Álgebra Linear: definimos a matriz de T na base canônica, calculamos o polinômio característico para achar os autovalores e, em seguida, resolvemos (T-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.

Passo 2

Na base canônica, a matriz de T é
M = \begin{pmatrix} a & 0 & 0\\\\ 0 & b & c\\\\ 0 & c & b \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
\det(M - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} a-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & b-\lambda & c\\\\ 0 & c & b-\lambda \end{pmatrix} = (a-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}b-\lambda & c\c & b-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}b-\lambda & c\c & b-\lambda\end{pmatrix} =(b-\lambda)^2 - c^2 =0 \;\Longrightarrow\; \lambda = b\pm c.
Logo os autovalores são
\lambda_1 = a,\quad \lambda_2 = b + c,\quad \lambda_3 = b - c.

Passo 3

Para \lambda_1 = a\), resolvemos \((M - aI)(x,y,z)^{T}=0\), ou seja \[\begin{cases} (a-a)x = 0,\\\ (b-a)y + c\,z = 0,\\\ c\,y + (b-a)z = 0. \end{cases}
As duas últimas equações se reduzem a
(b-a)y + c\,z = 0 \quad\text{e}\quad c\,y + (b-a)z = 0.
Como a\neq b\pm c\] em geral, a única solução é \(y=z=0 e x livre. Um autovetor associado é
v_1 = (1,0,0).

Passo 4

Para \lambda_2 = b+c\), temos \[(M-(b+c)I)(x,y,z)^{T}=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} (a-(b+c))x = 0,\\\ (b-(b+c))y + c\,z = -c\,y + c\,z = 0,\\\ c\,y + (b-(b+c))z = c\,y - c\,z = 0. \end{cases}
Da segunda e terceira equações vem z=y\], e da primeira \(x=0. Um autovetor conveniente é
v_2 = (0,1,1).

Passo 5

Para \lambda_3 = b-c\), escrevemos \[(M-(b-c)I)(x,y,z)^{T}=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} (a-(b-c))x = 0,\\\ (b-(b-c))y + c\,z = c\,y + c\,z = 0,\\\ c\,y + (b-(b-c))z = c\,y + c\,z = 0. \end{cases}
Das duas últimas equações obtenho y+z=0\], e da primeira \(x=0. Um autovetor pode ser escolhido como
v_3 = (0,1,-1).

Resposta

Os autovalores de T são
a,\quad b+c,\quad b-c
e vetores próprios associados podem ser escolhidos como
v_1 = (1,0,0),\quad v_2 = (0,1,1),\quad v_3 = (0,1,-1).

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