Calcule os autovetores e os autovalores da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & -1 \\\\ -1 & 1 & 4 \end{array}\right)
A é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e dizer se A é diagonalizável. Vamos usar o polinômio característico \det(A - \lambda I) para achar os autovalores e depois resolver (A - \lambda I)x = 0 para cada valor próprio.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & -1\\\\ -1 & 1 & 4-\lambda \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha dá
(1-\lambda)\bigl((2-\lambda)(4-\lambda)-(-1)\bigr) -2\bigl(1\cdot(4-\lambda)-(-1)\bigr) +2\bigl(1\cdot1-(2-\lambda)(-1)\bigr).
Calculando os menores:
(2-\lambda)(4-\lambda)+1 = \lambda^2 -6\lambda +9 = (\lambda-3)^2,
1\cdot(4-\lambda)-(-1)=3-\lambda, \quad 1\cdot1-(2-\lambda)(-1)=3-\lambda.
Como os termos com 3-\lambda se cancelam, sobra
\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(\lambda-3)^2.
Logo os autovalores são \lambda_1 = 1 (mult.\ alg.\ 1) e \lambda_2 = 3 (mult.\ alg.\ 2).

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos (A - I)x=0, isto é
\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\\\ 1 & 1 & -1\\\\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = 0.
Da primeira linha vem 2x_2+2x_3=0\Rightarrow x_2=-x_3. Da segunda, x_1+x_2-x_3=0\Rightarrow x_1=2x_3. Assim um vetor de base é
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda=3 resolvemos (A - 3I)x=0, isto é
\begin{pmatrix} -2 & 2 & 2\\\\ 1 & -1 & -1\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} x = 0,
que reduz à equação -x_1 + x_2 + x_3=0, ou seja x_1 = x_2 + x_3. Tomando parâmetros s=x_2 e t=x_3, obtemos dois vetores independentes:
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{(para }s=1,t=0\text{)}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \quad\text{(para }s=0,t=1\text{)}.
A multiplicidade geométrica de \lambda=3 é 2.

Passo 5

Como encontramos 1 autovetor para \lambda=1 e 2 autovetores independentes para \lambda=3, temos 3 autovetores linearmente independentes no total. Portanto A é diagonalizável.

Resposta

Autovalores: \lambda_1=1, \lambda_2=3 (mult.\ alg.\ 2).
Autovetores:
\lambda=1: v_1=(2,-1,1)^T.
\lambda=3: v_2=(1,1,0)^T, v_3=(1,0,1)^T.
A é diagonalizável.

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