Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais , encontre uma matriz não-singular tal que é diagonal e encontre também sua assinatura.
A=\left(\right)
Passo 1
Temos a matriz simétrica real
A missão é achar uma matriz inversível P tal que P^tAP fique diagonal (congruência) e, a partir dos pivôs dessa diagonal, tirar a assinatura. Vamos usar a fatoração LDL^t, que garante que
A = L,D,L^t
e aí basta tomar P = L^-1 para ter P^tAP=D.
Passo 2
No primeiro passo de LDL^t pivotamos em a11=1. Calculamos
l21 = a21a11 = -3, l31 = a31a11 = 2
Em seguida formamos o complemento de Schur de A em relação a esse pivô:
S = A - 1-32 (1;-3;2) = 0&0&00&-2&10&1&4
Passo 3
No segundo passo, pivotamos em S22=-2. Calculamos
l32 = S32S22 = 1-2 = -tfrac12
Subtraindo o banquinho do bloco 2times2 chegamos ao último pivô:
S' = -2&11&4 - (-2)1-tfrac12(1; -tfrac12) = 0&00&tfrac92
Logo o vetor de pivôs (diag D) é
D = diag(1,,-2,,9/2)
Passo 4
Agora montamos a matriz L (unitária na diagonal) com os lij que encontramos:
L = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 2 & -tfrac12 & 1
Como A=L,D,L^t, basta escolher
P = L^-1
para ter
P^t A P = D
Passo 5
Finalmente, para achar L^-1 (também unitária abaixo da diagonal) usamos que se Lji são os lji, então
L^-1 = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 -2 & tfrac12 & 1
A assinatura vem dos sinais de D: temos dois pivôs positivos (1,9/2) e um negativo (-2).
Passo 6
Portanto, uma escolha válida é
P = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 -2 & tfrac12 & 1,
e a assinatura de A é (2,1) — ou seja, dois autovalores positivos e um negativo.
Resposta
P = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 -2 & tfrac12 & 1, e a assinatura de A é (2,1).