Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais A, encontre uma matriz P não-singular tal que P^t A P é diagonal e encontre também sua assinatura.
A=\left( ccc1 & -3 & 2 -3 & 7 & -5 2 & -5 & 8\right)

Passo 1

Temos a matriz simétrica real
A=1 & -3 & 2 -3 & 7 & -5 2 & -5 & 8
A missão é achar uma matriz inversível P tal que P^tAP fique diagonal (congruência) e, a partir dos pivôs dessa diagonal, tirar a assinatura. Vamos usar a fatoração LDL^t, que garante que
A = L,D,L^t
e aí basta tomar P = L^-1 para ter P^tAP=D.

Passo 2

No primeiro passo de LDL^t pivotamos em a11=1. Calculamos
l21 = a21a11 = -3, l31 = a31a11 = 2
Em seguida formamos o complemento de Schur de A em relação a esse pivô:
S = A - 1-32 (1;-3;2) = 0&0&00&-2&10&1&4

Passo 3

No segundo passo, pivotamos em S22=-2. Calculamos
l32 = S32S22 = 1-2 = -tfrac12
Subtraindo o banquinho do bloco 2times2 chegamos ao último pivô:
S' = -2&11&4 - (-2)1-tfrac12(1; -tfrac12) = 0&00&tfrac92
Logo o vetor de pivôs (diag D) é
D = diag(1,,-2,,9/2)

Passo 4

Agora montamos a matriz L (unitária na diagonal) com os lij que encontramos:
L = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 2 & -tfrac12 & 1
Como A=L,D,L^t, basta escolher
P = L^-1
para ter
P^t A P = D

Passo 5

Finalmente, para achar L^-1 (também unitária abaixo da diagonal) usamos que se Lji são os lji, então
L^-1 = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 -2 & tfrac12 & 1
A assinatura vem dos sinais de D: temos dois pivôs positivos ( 1,9/2) e um negativo ( -2).

Passo 6

Portanto, uma escolha válida é
P = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 -2 & tfrac12 & 1,
e a assinatura de A é (2,1) — ou seja, dois autovalores positivos e um negativo.

Resposta

P = 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 -2 & tfrac12 & 1, e a assinatura de A é (2,1).

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