Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede dimensão e bases do núcleo (kernel) e da imagem (coluna) da transformação linear T: ℝ⁴→ℝ³ cuja matriz canônica é
A=-1 & 1 & 1 & 2 1 & 0 & 0 & 2 1 & 1 & 1 & 6
Vamos usar redução de linha para achar o posto (rank) e resolver Ax=0.
Passo 2
Começamos trocando a linha 1 com a linha 2 para ter pivô em A_{11} = 1:
1 & 0 & 0 & 2 -1 & 1 & 1 & 2 1 & 1 & 1 & 6
Em seguida, eliminamos abaixo do pivô:
L2 := L2 + L1 → (0,1,1,4)
L3 := L3 − L1 → (0,1,1,4)
E por fim L3 := L3 − L2 → (0,0,0,0).
O escalonamento final é
1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0
Passo 3
Dos pivôs vemos que as colunas 1 e 2 são lineares independentes, logo o posto de A é 2. Isso significa que dim(Im,T)=2. Uma base para a imagem é formada pelas colunas 1 e 2 de A:
Im,T=span(-1,1,1),,(1,0,1)
Passo 4
Para o núcleo resolvemos Ax=0 usando o sistema escalonado:
x1 + 2x4 =0, x2 + x3 +4x4=0,
com x3=s e x4=t livres. Daí:
x1=-2t, x2=-s-4t, x3=s, x4=t
Escrevendo
x=s0-110+t-2-401,
vemos que dim(ker T)=2 e uma base é
ker T=span(0,-1,1,0),,(-2,-4,0,1)
Resposta
dim(Im T)=2 com base {(−1,1,1),(1,0,1)}; dim(ker T)=2 com base {(0,−1,1,0),(−2,−4,0,1)}.