Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares ll0 & 0 1 & 1 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

Temos a transformação T: R^2 to R^2 cuja matriz na base canônica é
A = 0 & 0 1 & 1
Precisamos determinar a dimensão e base de ker(T)=vinR^2:Av=0 e de im(T), que é o subespaço gerado pelas colunas de A.

Passo 2

Para encontrar ker(T), resolvemos a equação homogênea
A x y = 0 0
Isso leva ao sistema
0 = 0, x + y = 0
Da segunda equação segue y = -x, então um vetor genérico do núcleo é (x,-x)=x(1,-1). Logo ker(T)=span(1,-1) e dim(ker(T))=1.

Passo 3

Para a imagem, observamos que as colunas de A são
0 1 e 0 1
Elas geram o mesmo subespaço, então im(T)=span(0,1) e dim(im(T))=1.

Resposta

dim(ker(T)) = 1 com base (1,-1), e dim(im(T)) = 1 com base (0,1).

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