Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares
:
cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
Temos a transformação
cuja matriz na base canônica é
Precisamos determinar a dimensão e base de
e de
, que é o subespaço gerado pelas colunas de
.
Passo 2
Para encontrar
, resolvemos a equação homogênea
Isso leva ao sistema
Da segunda equação segue
, então um vetor genérico do núcleo é
. Logo
e
.
Passo 3
Para a imagem, observamos que as colunas de
são
Elas geram o mesmo subespaço, então
e
.