Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais , encontre uma matriz não-singular tal que é diagonal e encontre também sua assinatura.
A=\left(\right)
Passo 1
Temos a matriz simétrica real
que define o formulário quadrático
q(x,y,z)=x&y&zAxyz=2xy+2xz-2y^2+4yz-z^2 Como a matriz é simétrica, podemos diagonalizar por congruência (teorema dos eixos principais) e usar a lei de inércia de Sylvester para achar a assinatura.
Passo 2
Reescrevemos
q=2x(y+z)-2y^2+4yz-z^2 e fazemos a mudança
u=y+z, ficando
q=2xu-2y^2+4y(z)-z^2
Passo 3
Substituindo z=u-y e organizando, obtemos
q=-u^2+2xu+6uy-7y^2
Passo 4
Agora completamos o quadrado em u:
q=-l(u-(x+3y)r)^2+(x+3y)^2-7y^2
Passo 5
Definimos as novas variáveis
w1=x+3y, w2=u-(x+3y)=y+z-x-3y=-x-2y+z, w3'=raiz7,y, de modo que
q=w1^2-w2^2-l(w3'r)^2
Passo 6
Em notação matricial isso equivale a
P^tA,P=diag(1,-1,-1), onde uma escolha conveniente para P que dá essa congruência é
Como aparecem uma vez o valor positivo e duas vezes o valor negativo na diagonal, a assinatura é (1,2,0): um autovalor positivo e dois negativos e nenhum nulo.