Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais A, encontre uma matriz P não-singular tal que P^t A P é diagonal e encontre também sua assinatura.
A=\left( ccc0 & 1 & 1 1 & -2 & 2 1 & 2 & -1\right)

Passo 1

Temos a matriz simétrica real
A=0 & 1 & 11 & -2 & 21 & 2 & -1, que define o formulário quadrático
q(x,y,z)=x&y&zAxyz=2xy+2xz-2y^2+4yz-z^2 Como a matriz é simétrica, podemos diagonalizar por congruência (teorema dos eixos principais) e usar a lei de inércia de Sylvester para achar a assinatura.

Passo 2

Reescrevemos
q=2x(y+z)-2y^2+4yz-z^2 e fazemos a mudança
u=y+z, ficando
q=2xu-2y^2+4y(z)-z^2

Passo 3

Substituindo z=u-y e organizando, obtemos
q=-u^2+2xu+6uy-7y^2

Passo 4

Agora completamos o quadrado em u:
q=-l(u-(x+3y)r)^2+(x+3y)^2-7y^2

Passo 5

Definimos as novas variáveis
w1=x+3y, w2=u-(x+3y)=y+z-x-3y=-x-2y+z, w3'=raiz7,y, de modo que
q=w1^2-w2^2-l(w3'r)^2

Passo 6

Em notação matricial isso equivale a
P^tA,P=diag(1,-1,-1), onde uma escolha conveniente para P que dá essa congruência é
P= 1 & 0 & -dfrac3raiz7 [6pt] 0 & 0 & dfrac1raiz7 [6pt] 1 & 1 & -dfrac1raiz7

Passo 7

Como aparecem uma vez o valor positivo e duas vezes o valor negativo na diagonal, a assinatura é (1,2,0): um autovalor positivo e dois negativos e nenhum nulo.

Resposta

Uma escolha possível é
P= 1 & 0 & -dfrac3raiz7 0 & 0 & dfrac1raiz7 1 & 1 & -dfrac1raiz7 ,
que satisfaz
P^tAP=diag(1,-1,-1)
e cuja assinatura é (1 positiva, 2 negativas).

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