Encontre a matriz simétrica que corresponde a cada um dos seguintes polinômios quadráticos.
(iii) q(x, y, z)=3 x^2+4 x y-y^2+8 x z-6 y z+z^2

Passo 1

A questão pede para encontrar a matriz simétrica que representa o polinômio quadrático q(x,y,z)=3x^2+4xy-y^2+8xz-6yz+z^2. Isso cai no conteúdo de formas quadráticas e matrizes simétricas, usando a relação q(x)=x^T Ax.

Passo 2

Vamos supor a matriz simétrica geral em bloco:
A= a11 & a12 & a13 a12 & a22 & a23 a13 & a23 & a33
Então, explodindo x^T Ax obtemos:
a11x^2 + 2a12xy + a22y^2 + 2a13xz + 2a23yz + a33z^2

Passo 3

Agora, igualamos termo a termo com o polinômio dado:
  • Para x^2: a11=3.
  • Para y^2: a22=-1.
  • Para z^2: a33=1.
    Para mistos, lembrando que aparecem com fator 2 em x^T Ax:
  • 2a12=4 a12=2.
  • 2a13=8 a13=4.
  • 2a23=-6 a23=-3.

Passo 4

Basta montar a matriz com esses valores e notar a simetria nos elementos fora da diagonal.

Resposta

A= 3 & 2 & 4 2 & -1 & -3 4 & -3 & 1

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