2 Seja b a forma bilinear simétrica associada com a forma quadrática real q(x, y)=a x^2+b x y+c y^2. Mostre que:
(i) b é não-degenerada se, e somente se, b^2-4 a c neq 0.
(ii) b é definida positiva se, e somente se, a>0 e b^2-4 a c<0.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática real q(x,y)=a x^2 + b x y + c y^2 e pede para mostrar duas propriedades da forma bilinear simétrica b que lhe é associada: não-degeneração e definição positiva. Vamos usar a fórmula de polarização para obter b e depois empregar critérios de determinação de não-degeneração (determinante não nulo) e de definição positiva (critérios de Sylvester).

Passo 2

A forma bilinear simétrica b associada a q é dada por
b(u,v) = 12l(q(u+v) - q(u) - q(v)r)
Em particular, na base canônica e1=(1,0), e2=(0,1) temos
b(e1,e1)=a, b(e2,e2)=c, b(e1,e2)=b(e2,e1)=b2

Passo 3

Logo, a matriz de b na base canônica é
M = a & tfracb2[6pt] tfracb2 & c

Passo 4

Para (i), b é não-degenerada se e somente se det M neq 0. Calculamos
det M = a c - l(tfracb2r)^2 = a c - b^24 = 4ac - b^24
Assim, det M neq 0 iff 4ac - b^2 neq 0 iff b^2 - 4ac neq 0.

Passo 5

Para (ii), usamos o critério de Sylvester para positividade: b é definida positiva se e somente se todos os menores principais de M forem positivos. Isso dá duas condições:
  1. b(e1,e1)=a>0
  2. det M>0, ou seja 4ac - b^2>0, equivalendo a b^2 -4ac<0

Resposta

(i) b é não-degenerada ⇔ b^2 - 4ac ≠ 0. (ii) b é definida positiva ⇔ a > 0 e b^2 - 4ac < 0.

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