2 Seja a forma bilinear simétrica associada com a forma quadrática real . Mostre que:
(i) é não-degenerada se, e somente se, .
(ii) é definida positiva se, e somente se, e .
Passo 1
O enunciado nos dá a forma quadrática real e pede para mostrar duas propriedades da forma bilinear simétrica que lhe é associada: não-degeneração e definição positiva. Vamos usar a fórmula de polarização para obter e depois empregar critérios de determinação de não-degeneração (determinante não nulo) e de definição positiva (critérios de Sylvester).
Passo 2
A forma bilinear simétrica associada a é dada por
Em particular, na base canônica , temos
Passo 3
Logo, a matriz de na base canônica é
Passo 4
Para (i), b é não-degenerada se e somente se det M neq 0. Calculamos
det M = a c - l(tfracb2r)^2 = a c - b^24 = 4ac - b^24
Assim, det M neq 0iff4ac - b^2 neq 0iffb^2 - 4ac neq 0.
Passo 5
Para (ii), usamos o critério de Sylvester para positividade: b é definida positiva se e somente se todos os menores principais de M forem positivos. Isso dá duas condições:
b(e1,e1)=a>0
det M>0, ou seja 4ac - b^2>0, equivalendo a b^2 -4ac<0
Resposta
(i) b é não-degenerada ⇔ b^2 - 4ac ≠ 0. (ii) b é definida positiva ⇔ a > 0 e b^2 - 4ac < 0.