Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares r3 1 -1 4 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para achar a dimensão e uma base do núcleo (ker) e da imagem (im) da transformação linear T: R^n to R^m cuja matriz na base canônica é
A=31-14
Aqui estamos em R^1 de domínio e R^4 de contradomínio, pois A tem 4 linhas e 1 coluna.

Passo 2

Para encontrar o núcleo, resolvemos
A x = 04,
ou seja
31-14x = 0000
Isso dá o sistema
3x=0,
x=0,
- x=0,
4x=0,
que só admite a solução x=0. Logo
ker(T)=0,
em que a única combinação linear trivial é o zero. Portanto
dimker(T)=0
e uma base do núcleo é o conjunto vazio.

Passo 3

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Como existe apenas uma coluna não nula,
Im(T)=spanl(3,1,-1,4)r
Logo
dimIm(T)=1
e uma base natural é
(3,1,-1,4)

Resposta

dimker(T)=0, base de ker(T): conjunto vazio;
dimIm(T)=1, base de Im(T): {(3,1,-1,4)}.

Exercícios relacionados