Para cada um dos seguintes operadores encontre todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
T: R^2 R^2, T([lx y])=[c3 x+3 y x+5 y]

Passo 1

O problema dá o operador linear T:R^2 to R^2 associado à matriz
A = 3 & 3 1 & 5
e pede todos os autovalores de T e, para cada autovalor, uma base do respectivo autoespaço. Vamos usar a definição de autovalor/autovetor, que passa por resolver
det(A - lambda I) = 0
e depois, para cada lambda, a equação (A - lambda I)v = 0.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det3 - lambda & 3 1 & 5 - lambda = (3 - lambda)(5 - lambda) - 3 cdot 1
Fazendo as contas:
(3 - lambda)(5 - lambda) - 3 = 15 - 3lambda - 5lambda + lambda^2 - 3 = lambda^2 - 8lambda + 12

Passo 3

Para achar os autovalores, resolvemos
lambda^2 -8lambda +12=0
O discriminante é 64-48=16, logo as raízes são
lambda=8pm42Longrightarrow lambda1=6,;lambda2=2

Passo 4

Para lambda1 = 6 resolvemos (A - 6I)v = 0, ou seja
3 - 6 & 3 1 & 5 - 6 x y = -3 & 3 1 & -1 x y = 0 0
A equação -3x + 3y = 0 y = x. Logo o autoespaço de lambda1 é
E6 = l t 1 1 mid t in R r,
cuja base podemos escolher como 1 1 .

Passo 5

Para lambda2 = 2 resolvemos (A - 2I)v = 0, isto é
3 - 2 & 3 1 & 5 - 2 x y = 1 & 3 1 & 3 x y = 0 0
A equação x + 3y = 0 x = -3y. Logo o autoespaço de lambda2 é
E2 = l s -3 1 mid s in R r,
cuja base podemos escolher como -3 1 .

Resposta

Os autovalores são lambda1=6 e lambda2=2.
Para lambda1=6, uma base do autoespaço é l11r.
Para lambda2=2, uma base do autoespaço é l-31r.

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