(a) Considere o operador sobre R^2 de reflexão com relação a uma reta y=m x. Analice em que casos é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diagonalizabilidade do operador linear
T: R^2to R^2
que reflete cada vetor em torno da reta de equação y=mx.
O conteúdo envolve achar a matriz de T, calcular seus autovalores e verificar se ela admite base de autovetores (i.e. se é diagonalizável).

Passo 2

Escolhemos como vetor diretor da reta o vetor
que tem norma unitária. A reflexão faz
para todo . Em coordenadas canônicas, a matriz de é
que simplifica para
]

Passo 3

Para ver os autovalores, calculamos o polinômio característico
detgl(A-lambda Igr) =detl(11+m^21-m^2&2m2m&m^2-1-lambda1&00&1r)
Como fator constante não altera raízes, basta ver
det1-m^2-(1+m^2)lambda & 2m[3pt]2m & m^2-1-(1+m^2)lambda
Expandindo, chega-se a
lambda^2 - 1 = 0,
ou seja,
lambda = 1, lambda=-1 ]

Passo 4

Os autovalores são ,1 e -1, distintos e ambos reais. Para cada autovalor existe um autovetor não nulo (no caso lambda=1 qualquer vetor sobre a reta y=mx e para lambda=-1 qualquer vetor perpendicular a essa reta). Logo há duas direções linearmente independentes de autovetores.

Passo 5

Um operador em R^2 com dois autovalores reais distintos é sempre diagonalizável, pois esses autovalores geram duas dimensões de espaço próprio.

Resposta

O operador de reflexão em torno da reta y=mx é diagonalizável para todo valor real de m.

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