(a) Considere o operador sobre
de reflexão com relação a uma reta
. Analice em que casos é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a diagonalizabilidade do operador linear
que reflete cada vetor em torno da reta de equação .
O conteúdo envolve achar a matriz de , calcular seus autovalores e verificar se ela admite base de autovetores (i.e. se é diagonalizável).
que reflete cada vetor em torno da reta de equação
O conteúdo envolve achar a matriz de
Passo 2
Escolhemos como vetor diretor da reta
o vetor
que tem norma unitária. A reflexão faz
para todo
. Em coordenadas canônicas, a matriz de
é
que simplifica para
Passo 3
Para ver os autovalores, calculamos o polinômio característico
Como fator constante não altera raízes, basta ver
Expandindo, chega-se a
ou seja,
Passo 4
Os autovalores são
e
, distintos e ambos reais. Para cada autovalor existe um autovetor não nulo (no caso
qualquer vetor sobre a reta
e para
qualquer vetor perpendicular a essa reta). Logo há duas direções linearmente independentes de autovetores.
Passo 5
Um operador em
com dois autovalores reais distintos é sempre diagonalizável, pois esses autovalores geram duas dimensões de espaço próprio.
Resposta
O operador de reflexão em torno da reta
é diagonalizável para todo valor real de
.