Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se o polinômio característico de um operador linear T é p(x)=x^2+1, então T é invertível.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T cujo polinômio característico é
p(x)=x^2+1
e pede para decidir se T é invertível. Vamos usar dois fatos da teoria de operadores lineares em espaço vetorial de dimensão finita: (i) T é invertível se, e somente se, 0 não for valor próprio de T; (ii) o determinante de T é o produto das raízes de p(x), contado com multiplicidade.

Passo 2

Como
p(0)=0^2+1=1neq0,
segue que 0 não é raiz de p(x). Logo, 0 não é valor próprio de T e, por consequência, det(T)neq0. Isso já basta para afirmar que T é invertível.

Passo 3

Uma segunda via, usando o Teorema de Cayley–Hamilton: pela afirmação de Cayley–Hamilton, p(T)=T^2+I=0. Assim
T^2=-I
e multiplicando à direita por -T obtemos
Tl(-Tr)=I,
logo -T é inverso de T, ou seja, T é invertível.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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