Determine, justificando se a afirmação é verdadeira ou falsa:
Se o polinômio característico de um operador linear
é
, então
é invertível.
Se o polinômio característico de um operador linear
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear
cujo polinômio característico é
e pede para decidir se
é invertível. Vamos usar dois fatos da teoria de operadores lineares em espaço vetorial de dimensão finita: (i)
é invertível se, e somente se,
não for valor próprio de
; (ii) o determinante de
é o produto das raízes de
, contado com multiplicidade.
Passo 2
Como
segue que
não é raiz de
. Logo,
não é valor próprio de
e, por consequência,
. Isso já basta para afirmar que
é invertível.
Passo 3
Uma segunda via, usando o Teorema de Cayley–Hamilton: pela afirmação de Cayley–Hamilton,
. Assim
e multiplicando à direita por
obtemos
logo
é inverso de
, ou seja,
é invertível.
Resposta
A afirmação é verdadeira.