Use diagonalização para determinar a solução do sistema de equações diferenciais dado.
cccx^prime & = & x-y y^prime & = & -x+y x0=3 & e & y0=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x' = x - y, y' = -x + y, x(0)=3,;y(0)=1,
e pede a solução via diagonalização. Vamos escrever em forma matricial X'=AX, achar os autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e usar as condições iniciais para fixar as constantes.

Passo 2

Escrevemos
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Para diagonalizar, precisamos resolver .

Passo 3

O polinômio característico é
detl(A-lambda Ir) =det1-lambda & -1-1 & 1-lambda =(1-lambda)^2-1
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(1-lambda)^2-1=0 ;Longrightarrow; lambda^2-2lambda=0 ;Longrightarrow; lambda(lambda-2)=0,
de onde
lambda1=0, lambda2=2

Passo 4

Para resolvemos :
Para resolvemos :

Passo 5

Como A é diagonalizável, temos a base de autovetores v^(1),v^(2). A solução geral é
X(t) = c1 e^lambda1 tv^(1) + c2 e^lambda2 tv^(2) = c111 + c2 e^2t1-1
Em componentes:
x(t)=c1 + c2 e^2t, y(t)=c1 - c2 e^2t

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em t=0:
x(0)=c1 + c2 = 3, y(0)=c1 - c2 = 1
Somando as duas equalidades:
2c1 = 4 ;Longrightarrow; c1=2,
e então c2=3-c1=1.

Resposta

x(t)=2 + e^2t, y(t)=2 - e^2t

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