Para cada um dos seguintes pares de conjuntos, determine se o primeiro é um subconjunto do segundo, o segundo é um subconjunto do primeiro ou se nenhum é subconjunto do outro.
O conjunto de frutas, o conjunto de frutas cítricas.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem dois conjuntos – digamos
F = “conjunto de todas as frutas”
C = “conjunto de todas as frutas cítricas”
Conteúdo da matéria: teoria de conjuntos, em especial a definição de subconjunto.
O que vamos precisar:
  1. Definição formal de subconjunto ( Asubseteq B).
  2. Como usar contra‐exemplos para mostrar que um conjunto não é subconjunto de outro.

Passo 2

Definição de subconjunto:
Um conjunto A subseteq B se forall x,(xin A implies xin B) é subconjunto de (escrevemos ) se, e somente se, todo elemento de também for elemento de .
Em símbolos:
Para provar , a gente mostra que um “elemento genérico” de está sempre em .
Para provar que não é subconjunto, basta encontrar um elemento de que não esteja em .

Passo 3

Testando se exists x,(xin F wed>= xnotin C), :
– Pegue uma fruta qualquer em . Por exemplo, “maçã”.
– A maçã está em , mas ela não está em (não é cítrica).
Isso já é um contra‐exemplo:
então não vale .

Passo 4

Testando se forall x,(xin C implies xin F), :
– Pegue uma fruta qualquer em . Por exemplo, “laranja”.
– A laranja é uma fruta, logo está também em .
Isso vale para toda fruta cítrica (limão, tangerina, toranja etc.), pois todo cítrico é, por definição, uma fruta.
Logo
portanto .

Resposta

O conjunto de frutas cítricas é subconjunto do conjunto de frutas. Em notação:
C subseteq F

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