Para cada um dos seguintes pares de conjuntos, determine se o primeiro é um subconjunto do segundo, o segundo é um subconjunto do primeiro ou se nenhum é subconjunto do outro.
O conjunto de frutas, o conjunto de frutas cítricas.
O conjunto de frutas, o conjunto de frutas cítricas.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem dois conjuntos – digamos
F = “conjunto de todas as frutas”
C = “conjunto de todas as frutas cítricas”
Conteúdo da matéria: teoria de conjuntos, em especial a definição de subconjunto.
O que vamos precisar:
F = “conjunto de todas as frutas”
C = “conjunto de todas as frutas cítricas”
Conteúdo da matéria: teoria de conjuntos, em especial a definição de subconjunto.
O que vamos precisar:
- Definição formal de subconjunto (
). - Como usar contra‐exemplos para mostrar que um conjunto não é subconjunto de outro.
Passo 2
Definição de subconjunto:
Um conjunto é subconjunto de
(escrevemos
) se, e somente se, todo elemento de
também for elemento de
.
Em símbolos:
Um conjunto
Em símbolos:
Para provar
, a gente mostra que um “elemento genérico” de
está sempre em
.
Para provar que não é subconjunto, basta encontrar um elemento de que não esteja em
.
Para provar que não é subconjunto, basta encontrar um elemento de
Passo 3
Testando se
:
– Pegue uma fruta qualquer em . Por exemplo, “maçã”.
– A maçã está em , mas ela não está em
(não é cítrica).
Isso já é um contra‐exemplo:
– Pegue uma fruta qualquer em
– A maçã está em
Isso já é um contra‐exemplo:
então não vale
.
Passo 4
Testando se
:
– Pegue uma fruta qualquer em . Por exemplo, “laranja”.
– A laranja é uma fruta, logo está também em .
Isso vale para toda fruta cítrica (limão, tangerina, toranja etc.), pois todo cítrico é, por definição, uma fruta.
Logo
– Pegue uma fruta qualquer em
– A laranja é uma fruta, logo está também em
Isso vale para toda fruta cítrica (limão, tangerina, toranja etc.), pois todo cítrico é, por definição, uma fruta.
Logo
portanto
.
Resposta
O conjunto de frutas cítricas é subconjunto do conjunto de frutas. Em notação: