Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
As equações de a),b) è c) representam a mesma curva?
Passo 1
Beleza, a gente tem três pares de equações paramétricas nas partes (a), (b) e ©. A pergunta é: essas três equações descrevem a mesma curva? Para descobrir, vamos transformar cada par de equações paramétricas em uma equação cartesiana (ou seja, só com
e
) e ver se elas são iguais.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a):
A ideia aqui é eliminar o parâmetro
para achar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Da primeira equação, podemos resolver para
:
Agora, substituímos esse valor de
na segunda equação:
Então, a equação cartesiana para a parte (a) é:
Passo 4
Agora vamos para a parte (b):
Novamente, vamos eliminar
.
Passo 5
Da primeira equação, resolvemos para
:
Substituímos esse valor na segunda equação:
Então, a equação cartesiana para a parte (b) também é:
Passo 6
Por fim, vamos analisar a parte ©:
Vamos usar uma identidade trigonométrica para relacionar
e
.
Passo 7
Sabemos que:
Substituindo
e
:
Então, a equação cartesiana para a parte © também é:
Resposta
Sim, as equações das partes (a), (b) e © representam a mesma curva, que é a reta
.