Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
& (a) x=-1+t , y=2-t, t in R & (b) x=-1+t^2 , y=2-t^2, t in R & c) x=cos ^2 t , y=sen^2 t, t in R & (d) x=t^2, y=t^3, t in R & e) x=t^2-4 , y=1-t, t in R & f) x=sen t, y=cos 2 t, t in[0,2 pi] & g) x=cos t , y=-3+sen t, t in[0,2 pi] & h) x=3 cos t , y=2 sent, t in[0,2 pi] & i) x=sec t , y=tg t, t in(-pi2, pi2)
As equações de a),b) è c) representam a mesma curva?

Passo 1

Beleza, a gente tem três pares de equações paramétricas nas partes (a), (b) e ©. A pergunta é: essas três equações descrevem a mesma curva? Para descobrir, vamos transformar cada par de equações paramétricas em uma equação cartesiana (ou seja, só com e ) e ver se elas são iguais.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a):
x = -1 + t y = 2 - t t in R
A ideia aqui é eliminar o parâmetro para achar uma relação direta entre e .

Passo 3

Da primeira equação, podemos resolver para t = x + 1 :
y = 2 - (x + 1) y = 1 - x
Agora, substituímos esse valor de y = 1 - x na segunda equação:
Então, a equação cartesiana para a parte (a) é:

Passo 4

Agora vamos para a parte (b):
x = -1 + t^2 y = 2 - t^2 t in R
Novamente, vamos eliminar .

Passo 5

Da primeira equação, resolvemos para t^2 = x + 1 :
y = 2 - (x + 1) y = 1 - x
Substituímos esse valor na segunda equação:
y = 1 - x
Então, a equação cartesiana para a parte (b) também é:

Passo 6

Por fim, vamos analisar a parte ©:
x = cos^2 t y = sin^2 t t in R
Vamos usar uma identidade trigonométrica para relacionar e .

Passo 7

Sabemos que:
cos^2 t + sin^2 t = 1
Substituindo x + y = 1 y = 1 - x e y = 1 - x :
Então, a equação cartesiana para a parte © também é:

Resposta

Sim, as equações das partes (a), (b) e © representam a mesma curva, que é a reta .

Exercícios relacionados