Obtenha uma expressão para o n-ésima derivada das seguintes funções: (f) y = cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão para a n-ésima derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos lembrar como derivar funções como cosseno e como as derivadas se comportam quando a gente aplica várias vezes seguidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular algumas das primeiras derivadas de para entender o padrão que elas seguem. A derivada de é , a segunda derivada é , a terceira é e a quarta volta para . Ou seja:
Percebeu? As derivadas começam a se repetir a cada quatro passos. Isso significa que há um ciclo de período 4 nas derivadas de .

Passo 3

Agora, vamos generalizar isso para qualquer derivada de ordem . Sabendo que o ciclo se repete a cada 4 derivadas, podemos usar o conceito de congruência modular para expressar a n-ésima derivada. Basicamente, queremos ver qual posição do ciclo estamos na derivada de ordem .
Matematicamente, isso é representado por , que nos dá o resto da divisão de por 4. Dependendo desse resto, a derivada será , , ou .

Passo 4

Mas tem uma maneira mais elegante de expressar isso sem precisar pensar no ciclo diretamente. Podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona o cosseno de um ângulo com um deslocamento:
Essa expressão já incorpora o ciclo de derivadas que vimos. Vamos ver como isso funciona:
  • Quando : (a própria função original)
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • E assim por diante…
Essa fórmula já cobre todos os casos do ciclo de derivadas.

Resposta

A n-ésima derivada de é dada por:

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