Obtenha uma expressão para o n-ésima derivada das seguintes funções: (f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão para a n-ésima derivada da função
. Isso envolve o conteúdo de derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos lembrar como derivar funções como cosseno e como as derivadas se comportam quando a gente aplica várias vezes seguidas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular algumas das primeiras derivadas de
para entender o padrão que elas seguem. A derivada de
é
, a segunda derivada é
, a terceira é
e a quarta volta para
. Ou seja:
Percebeu? As derivadas começam a se repetir a cada quatro passos. Isso significa que há um ciclo de período 4 nas derivadas de
.
Passo 3
Agora, vamos generalizar isso para qualquer derivada de ordem
. Sabendo que o ciclo se repete a cada 4 derivadas, podemos usar o conceito de congruência modular para expressar a n-ésima derivada. Basicamente, queremos ver qual posição do ciclo estamos na derivada de ordem
.
Matematicamente, isso é representado por
, que nos dá o resto da divisão de
por 4. Dependendo desse resto, a derivada será
,
,
ou
.
Passo 4
Mas tem uma maneira mais elegante de expressar isso sem precisar pensar no ciclo diretamente. Podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona o cosseno de um ângulo com um deslocamento:
Essa expressão já incorpora o ciclo de derivadas que vimos. Vamos ver como isso funciona:
- Quando
: (a própria função original) - Quando
: - Quando
: - Quando
: - E assim por diante…
Essa fórmula já cobre todos os casos do ciclo de derivadas.
Resposta
A n-ésima derivada de
é dada por: