Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
(a)
.
(b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
(a)
(b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazermos um esboço de várias curvas definidas por funções vetoriais. Vamos precisar entender o que são funções vetoriais e como elas definem curvas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e análise de componentes das funções.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a):
. Essa função vetorial nos dá x = 2, y = 1 e z = t. Isso significa que, independentemente do valor de t, x e y permanecem constantes. Então, a curva definida por essa função é uma linha reta paralela ao eixo z, passando pelo ponto (2, 1, 0).
Passo 3
Agora, na parte (b):
. Aqui, x, y e z são todos iguais a t. Conforme t varia de -1 a 1, a curva se move de (-1, -1, -1) até (1, 1, 1). Isso forma uma linha reta que passa pela origem, inclinada igualmente nos três eixos.
Passo 4
Vamos para a parte ©:
. As componentes x e y formam uma elipse no plano xy, com semi-eixo de 2 na direção x e 3 na direção y. A componente z é constante em 5, então a curva é uma elipse situada no plano paralelo ao xy a z = 5.
Passo 5
Na parte (d):
. Aqui, x é sempre 3, enquanto y e z descrevem um círculo no plano yz com raio 1. Porém, como t varia de 0 a π, a curva é apenas metade desse círculo, formando um semicírculo no plano yz a x = 3.
Passo 6
Por fim, na parte (e):
. A componente x é uma função quadrática de t, y é constante em 2 e z é igual a t. Isso significa que a curva se estende indefinidamente no eixo z, enquanto x aumenta de acordo com
, formando uma parábola no plano xz a y = 2.
Resposta
Resumindo, as curvas definidas pelas funções vetoriais são:
a) Uma reta paralela ao eixo z passando por (2, 1, 0).
b) Uma linha reta que passa da ponta (-1, -1, -1) até (1, 1, 1).
c) Uma elipse no plano z=5 com semi-eixos 2 e 3.
d) Um semicírculo no plano yz a x=3.
e) Uma parábola no plano xz a y=2 que se estende indefinidamente no eixo z.
a) Uma reta paralela ao eixo z passando por (2, 1, 0).
b) Uma linha reta que passa da ponta (-1, -1, -1) até (1, 1, 1).
c) Uma elipse no plano z=5 com semi-eixos 2 e 3.
d) Um semicírculo no plano yz a x=3.
e) Uma parábola no plano xz a y=2 que se estende indefinidamente no eixo z.