Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
(a) sigma(t) = (2, 1, t), t em R.
(b) sigma(t) = (t, t, t), t in [-1, 1].
c) σ(t) = (2 cos(t), 3 sen(t), 5), t ∈ [0, 2 pi].
d) σ(t) = (3, cos(t), sen(t)), t ∈ [0, pi].
e) sigma(t) = (t^2 - 1, 2, t), t in [0, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazermos um esboço de várias curvas definidas por funções vetoriais. Vamos precisar entender o que são funções vetoriais e como elas definem curvas no espaço tridimensional. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e análise de componentes das funções.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): sigma(t) = (2, 1, t), t em R. Essa função vetorial nos dá x = 2, y = 1 e z = t. Isso significa que, independentemente do valor de t, x e y permanecem constantes. Então, a curva definida por essa função é uma linha reta paralela ao eixo z, passando pelo ponto (2, 1, 0).

Passo 3

Agora, na parte (b): sigma(t) = (t, t, t), t in [-1, 1]. Aqui, x, y e z são todos iguais a t. Conforme t varia de -1 a 1, a curva se move de (-1, -1, -1) até (1, 1, 1). Isso forma uma linha reta que passa pela origem, inclinada igualmente nos três eixos.

Passo 4

Vamos para a parte ©: σ(t) = (2 cos(t), 3 sen(t), 5), t ∈ [0, 2 pi]. As componentes x e y formam uma elipse no plano xy, com semi-eixo de 2 na direção x e 3 na direção y. A componente z é constante em 5, então a curva é uma elipse situada no plano paralelo ao xy a z = 5.

Passo 5

Na parte (d): σ(t) = (3, cos(t), sen(t)), t ∈ [0, pi]. Aqui, x é sempre 3, enquanto y e z descrevem um círculo no plano yz com raio 1. Porém, como t varia de 0 a π, a curva é apenas metade desse círculo, formando um semicírculo no plano yz a x = 3.

Passo 6

Por fim, na parte (e): sigma(t) = (t^2 - 1, 2, t), t in [0, +infinito). A componente x é uma função quadrática de t, y é constante em 2 e z é igual a t. Isso significa que a curva se estende indefinidamente no eixo z, enquanto x aumenta de acordo com , formando uma parábola no plano xz a y = 2.

Resposta

Resumindo, as curvas definidas pelas funções vetoriais são:
a) Uma reta paralela ao eixo z passando por (2, 1, 0).
b) Uma linha reta que passa da ponta (-1, -1, -1) até (1, 1, 1).
c) Uma elipse no plano z=5 com semi-eixos 2 e 3.
d) Um semicírculo no plano yz a x=3.
e) Uma parábola no plano xz a y=2 que se estende indefinidamente no eixo z.

Exercícios relacionados